Multiplicité

Dans les mathématiques , la multiplicité d'un membre d'un multi-ensemble est combien les adhésions dans le multi-ensemble il a. Par exemple, le terme est employé pour se rapporter au nombre de fois un donné l'équation que polynôme a une racine à un point donné.

La raison commune de considérer des notions de multiplicité est de compter correctement, sans spécification des exceptions (par exemple, doubles racines de comptées deux fois). Par conséquent le d'expression a compté avec la multiplicité (parfois implicite) .

Quand les mathématiciens souhaitent ignorer la multiplicité ils se référeront au nombre d'éléments distincts du d'un ensemble.

Multiplicité d'un facteur principal

Dans la factorisation de perfection de × du

60 = 2 de ; 2 × ; 3 × ; 5

la multiplicité du facteur principal 2 est 2, alors que la multiplicité des facteurs principaux 3 et 5 est 1. Ainsi, 60 a 4 facteurs principaux, mais seulement 3 facteurs principaux distincts.

Multiplicité d'une racine d'un polynôme

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Laisser le F être un champ et le p ( X ) soit un polynôme dans un variable et des coefficients dans le F . Un d'élément un de ; ∈ ; Le F s'appelle une racine du k de multiplicité du p ( X ) s'il y a un polynôme s ( X ) tels que du s ( un ) ; ≠ ; 0 et du p ( X ) ; = ; ( de X ; &minus ; ; un s ( X ) du k de ^{de ). Si le k = 1, alors un s'appelle une racine simple de .}

Par exemple, le polynôme p ( X ) = X ³ ; + ; 2 X ² ; &minus ; ; 7 du X ; + ; 4 a 1 et &minus ; 4 comme racines, et peuvent être écrits comme p ( X ) = ( de X ; + ; 4) ( de X ; &minus ; ; 1)². Ceci signifie que 1 est une racine de la multiplicité 2, et &minus ; 4 est une racine « simple » (de multiplicité 1).

Le discriminant d'un polynôme est zéro si et seulement si le polynôme a une racine multiple.

Comportement géométrique

Laisser le f ( X ) soit une fonction polynôme du . Puis, si le f est représenté graphiquement sur un système du même rang cartésien , son graphique croisera le X - axe à de vrais zéros de multiplicité impaire et être tangente au X - axe à de vrais zéros même de multiplicité. En outre, si le f ( X ) a un zéro avec une multiplicité plus considérablement que 1, le graphique aura un point d'inflexion au X - axe et aura la pente 0.

Multiplicité d'un zéro d'une fonction

Laisser $I$ être un intervalle du R , laisser $f$ être une fonction de $I$ dans le R ou le C soit une vraie (resp. fonction de complexe), et a laissé $c$ ; ∈ ; $I$ soit un zéro de $f$ , c. un point tels que le $f (c)=0$ . Le point $c$ est dit un zéro de la multiplicité $k$ de $f$ si là existent un $de vrai nombre \ aune \ quantité nette de substance explosive 0$ tels que $de \ lim_ {x \ à c} \$

du frac Dans l'analyse complexe

Laisser

z_0

être une racine d'une fonction holoèdre

f

de , et laisser

n

être le moindre nombre entier positif

m

tels que, le dérivé de

m

^th de

f

évalué à

z_0

diffère de zéro. Alors la série entière de

f

au sujet de

z_0

commence par la limite de

n

th, et on dit que

f

a une racine de multiplicité (ou de « ") d'ordre ;

n

. Si

n=1

, la racine s'appelle une racine simple (Krantz 1999, p.

Nous pouvons également définir ainsi la multiplicité des zéros et des poteaux d'une fonction méromorphe : Si nous avons = de $f de fonction méromorphe \ dfrac {g} {h}$ , prendre au Taylor les expansions du g et du h environ un z₀ de point, et trouver la première limite différente de zéro dans chacun (dénoter le m de nombres de limite et le n respectivement). si le m = n , alors le point a la valeur différente de zéro. Si le m > n , alors le point est un zéro de m - n de multiplicité. Si le m < n , alors le point a un poteau du n - m de multiplicité.

Voir également

(analyse complexe) zéro
réglé
Théorème fondamental de de l'algèbre
Théorème fondamental de arithmétique
Multiplicité algébrique et multiplicité géométrique d'une valeur propre

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