Moyen harmonique

Dans les mathématiques , le moyen harmonique (autrefois parfois appelé le le moyen subcontrary ) est l'un de plusieurs genres de moyenne . Typiquement, il est approprié pour des situations quand la moyenne de taux est désirée. Le moyen harmonique est le nombre de variables divisées par la somme du Reciprocals des variables.

Le H de moyen harmonique du positif des vrais nombres un ₁, un ₂,…, un n de _{de est défini pour être $H de = \ = du frac {n} {\ + de frac {1} {a_1} \ frac {1} {a_2} + \ + de cdots \ frac {1} {a_n}} \ frac {n} {\ ^n de sum_ {i=1} \ frac {1} {a_i}}$}

C'est-à-dire, le moyen harmonique d'un groupe de limites est le réciproque de la moyenne arithmétique des reciprocals.

Exemples

Dans certaines situations, le moyen harmonique fournit la plus véritable moyenne . Par exemple, si pour la moitié de la distance de d'un voyage vous voyagez à 40 kilomètres par heure et pour l'autre moitié de la distance de vous voyagez à 60 kilomètres par heure, puis votre vitesse moyenne pour le voyage est donné par le moyen harmonique de 40 et de 60, qui est 48 ; c'est-à-dire, le nombre de heures total pour le voyage est identique comme si vous avez voyagé le voyage entier à 48 kilomètres par heure. Si vous aviez voyagé pour la moitié du temps de à une vitesse et à l'autre moitié à des autres, la moyenne arithmétique , dans ce cas-ci 50 kilomètres de par heure, fournirait la moyenne correcte.

De même, si un circuit électrique contient deux le relié de résistances de par dans parallèle, un avec une résistance 40 du Ω et l'autre avec 60Ω, puis la résistance moyenne des deux résistances est 48Ω ; c'est-à-dire, la résistance du circuit est identique que deux résistances 48Ω reliées en parallèle. Ce ne doit pas être confondu avec leur résistance équivalente , 24Ω de , qui est la résistance requise pour qu'une résistance simple remplace les deux résistances parallèles. La résistance équivalente est égale à un demi- de la valeur du moyen harmonique des deux résistances parallèles.

Dans les finances, le moyen harmonique est utilisé comme moyen de calculer le coût moyen de parts achetées pendant le temps. Par exemple, un investisseur achète la valeur $1000 des actions tous les mois pendant trois mois et les prix payés par part chaque mois étaient $8, $9, et $10, puis le prix moyen l'investisseur payé est $8. Cependant, si l'investisseur achetait les parts 1000 de par mois, la moyenne arithmétique (qui s'avère être $9. Noter que dans cet exemple, l'investisseur achetant $1000 valeur des actions chaque mois veut dire acheter 125 parts aux $8 les premiers mois, 111.11 parts à $9 le deuxième mois, et 100 parts à $10 en le troisième mois. Peu de parts sont achetées à des prix plus élevés tandis que plus de parts sont achetées aux prix inférieurs. Ainsi plus de poids est indiqué aux prix inférieurs que les prix plus élevés dans le calcul du coût moyen par part ($8. Si l'investisseur avait à la place acheté 1000 shares chaque mois puis égaler le poids serait donné aux prix d'achat de ciel et terre, menant à un coût moyen par part de $9. Ceci explique pourquoi le moyen harmonique est moins que la moyenne arithmétique.

Une conséquence intéressante résulte de l'algèbre de base dans les problèmes du travail ensemble. Comme exemple, si une pompe alimentée au gaz peut vidanger une piscine en 4 heures et une pompe à piles peut vidanger la même piscine en 6 heures, puis lui prendra le $\ frac de les deux pompes } * {4 } + {4 ,$ qui est égal à 2.4 heures, pour vidanger la piscine ensemble. Intéressant, c'est la moitié du moyen harmonique de 6 et de 4.

Cette conséquence surgit dans n'importe quel problème de travail des personnes du n . Montré ici sous la forme simplifiée,

$\ frac = \ frac _1} {a_2} \ cdots {a_n _1} + {a_2} + \ cdots + {a_n$

Moyen harmonique de deux nombres

En traitant juste deux nombres, un équivalent, parfois plus commode, formule de leur moyen harmonique est donné par : = de

H de  \ frac } {a_1} {a_2 _1} + {a_2 .

Dans ce cas-ci, leur moyen harmonique est lié à leur moyenne arithmétique , = de $A de \ frac _1} + {a_2 {2},$

et leur moyen géométrique , = de $G de \ racine carrée _1} \ cdot {a_2 ,$

par = de $H de \ frac {G^2} {A}.$

ainsi = de $G de \ racine carrée} {H$ , c. le moyen géométrique est le moyen géométrique de la moyenne arithmétique et du moyen harmonique.

Noter que ce résultat se tient seulement dans le cas de juste deux nombres.

Rapport avec des autres moyens

Le moyen harmonique est l'un des 3 moyens pythagoriens . Pour un ensemble de données donné, le moyen harmonique est toujours le mineur des trois, alors que la moyenne arithmétique est toujours la plus grande des trois et le moyen géométrique est toujours dans l'intervalle (car le moyen géométrique est réellement le moyen géométrique appliqué les deux aux autres moyens comme montré ci-dessus).

C'est le $M_ de cas spécial {- 1}$ du moyen de puissance de .

Il est équivalent à une moyenne arithmétique pesée par avec le poids de chaque valeur étant le réciproque de la valeur.

Puisque le moyen harmonique d'une liste de nombres tend fortement vers les moindres éléments de la liste, il tend (comparé à la moyenne arithmétique) à atténuer l'impact de grandes annexes et à aggraver l'impact de le petit.

La moyenne arithmétique souvent est inexactement employée dans les endroits appelant pour le moyen harmonique. Dans le d'exemple de vitesse au-dessus de par exemple la moyenne arithmétique 50 est incorrecte, et trop grande. Une telle erreur a été apparemment faite dans un calcul de la capacité de transport de bateaux américains pendant la Première Guerre Mondiale . La moyenne arithmétique des divers de la vitesse bateaux a été employée, ayant pour résultat une évaluation de capacité totale qui a prouvé inaccessible.

Voir également

Taux
moyen généralisé par
Diatessaron (harmonie)
Tertius mineur

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