Mot de Fibonacci

Le mot de Fibonacci de est un ordre infini du spécifique des chiffres binaires du (ou des symboles de tout alphabet à deux lettres ).

Définition

Laisser $S_0$ être " ; 0" ; et $S_1$ soit " ; 01" ;. Maintenant $S_n = S_ {n-1} S_ {N2}$ (la concaténation de l'ordre précédent et de celui avant qui). Le mot de Fibonacci est le $S_ de limite {\ infty}$ .

L'ordre

Nous avons :

de $S_0$ ; ; 0

de $S_1$ ; ; 0, 1

de $S_2$ ; ; 0, 1, 0

de $S_3$ ; ; 0, 1, 0, 0, 1

de $S_4$ ; ; 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0

de $S_5$ ; ; 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1

…

Les éléments premiers de l'ordre sont :

0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1,…

Expression de forme close de pour différents chiffres

N^th chiffre de mot est

\ est parti \ lfloor {\ à gauche ({n + 2} \ droit) \, {\ varphi \ plus de {1 + 2 \, \ varphi}}} \ droit \ rfloor - \ à gauche \ lfloor {\ à gauche ({n + 1} \) droit \, {\ varphi \ plus de {1 + 2 \, \ varphi}}} \ exact \ rfloor

et le

\ varphi

est le rapport d'or et le

\ est parti \ lfloor X \ droit \ rfloor

est la fonction de plancher de (voir l'A3849 d'OEIS).

Règles de substitution

Une autre manière d'aller du du n de _{du n} au S de _{du S ; + ; 1} est de remplacer chaque symbole 0 dans le n de _{du S par les paires de symboles consécutifs 0, 1 dans le du n de _{du S ; + ; 1}, et pour remplacer chaque symbole 1 dans le n} de _{du S par le symbole simple 0 dans le du n de _{du S ; + ; 1}.}

Alternativement, on peut imaginer produire directement du mot entier de Fibonacci par le processus suivant : commencer par un curseur indiquant le chiffre simple 0. Puis, à chaque étape, si le curseur indique un 0, apposer 1, 0 à la fin du mot, et si le curseur indique un 1, apposent 0 à la fin du mot. Dans l'un ou l'autre cas, accomplir l'étape en déplaçant la position du curseur un vers la droite.

Un mot infini semblable, parfois appelé l'ordre de lapin de , est produit par un processus infini semblable avec une règle différente de remplacement : toutes les fois que le curseur indique un 0, apposer 1, et toutes les fois que le curseur indique un 1, apposer 0, 1. L'ordre en résultant commence le
0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0 de
,… Cependant cet ordre diffère du mot de Fibonacci seulement trivialement, 0 de permutation pour 1 et en décalant les positions par un.

Discussion

Le mot est lié à l'ordre célèbre du même nom (l'ordre de Fibonacci de ) dans le sens que l'addition des nombres entiers dans la définition inductive est remplacée par la concaténation de corde. Ceci cause la longueur du n de _{du S être du n de _{du F ; + ; 2}, ( de n ; + ; ) nombre de Fibonacci du Th 2. Également le nombre de 1s dans le n} de _{du S est du n de _{du F ; + ; 1} et le nombre de 0s dans le n} de _{du S est le n} de _{du F . Le mot de Fibonacci est un exemple célèbre d'un mot de Sturmian de .
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