Monter et descendre

Dans l'algèbre commutative , une branche des mathématiques , le allant vers le haut et le descendant sont des limites qui se rapportent à certaines propriétés des chaînes des idéaux de perfection de dans les prolongements intégraux

Le d'expression allant vers le haut se rapporte au cas quand une chaîne peut être prolongée par le " ; " ascendant de l'inclusion ; , alors que le descendant se rapporte au cas quand une chaîne peut être prolongée par le " ; inclusion" de haut en bas ;.

Les résultats principaux sont les théorèmes de Cohen-Seidenberg de , qui ont été prouvés par le Irving S. Cohen et le Abraham Seidenberg . Ce sont le familièrement connu sous le nom de les théorèmes allants-vers le bas allants-vers le haut de et de .

Monter et descendre

Les théorèmes allants-vers le haut et allants-vers le bas chacun affirment que dans certaines circonstances, une chaîne des idéaux principaux dans une prolongation intégrale, se trouvant au-dessus d'une plus longue chaîne des idéaux principaux, peut être prolongée à la longueur de la chaîne des idéaux principaux ci-dessous.

D'abord, nous fixons une certaine terminologie. Laisser le A et le B être deux anneaux commutatifs avec l'unité , et les supposer que le B est une prolongation intégrale du A . Si le $\ mathfrak {p}$ et $\ mathfrak {q}$ sont les idéaux principaux du A et du B , respectivement, tels que = de $de A \ mathfrak {p}$

alors nous disons que le de $\ mathfrak {p}$ se trouve sous le $de \ mathfrak {q}$ et que le de $\ mathfrak {q}$ se trouve au-dessus du $de \ du mathfrak {p}$ .

Monter

Laisser le A et le B être deux anneaux commutatifs avec l'unité , et les supposer que le B est une prolongation intégrale du A . Alors toutes les fois que $de \ mathfrak {p} _1 \ subseteq \ mathfrak {p} _2 \ subseteq \ cdots \ subseteq \ mathfrak {p} _n$

est une chaîne des idéaux de perfection de du A et $de \ mathfrak {q} _1 \ subseteq \ mathfrak {q} _2 \ subseteq \ cdots \ subseteq \ mathfrak {q} _m$

( m < n ) est une chaîne des idéaux principaux du B tels que pour chaque m , $\ mathfrak {q} _i$ de ≤ du i de 1 ≤ se trouve au-dessus du $\ du mathfrak {p} _i$ , puis la chaîne $de \ mathfrak {q} _1 \ subseteq \ mathfrak {q} _2 \ subseteq \ cdots \ subseteq \ mathfrak {q} _m$

peut être prolongé à une chaîne $de \ mathfrak {q} _1 \ subseteq \ mathfrak {q} _2 \ subseteq \ cdots \ subseteq \ mathfrak {q} _n$

tels que pour chaque n , $\ mathfrak {q} _i$ de ≤ du i de 1 ≤ se trouve au-dessus du $\ du mathfrak {p} _i$ .

Descendre

Laisser le A et le B être comme ci-dessus, et en outre supposent que le A est le intègralement clôturé. Alors toutes les fois que $de \ mathfrak {p} _1 \ supseteq \ mathfrak {p} _2 \ supseteq \ cdots \ supseteq \ mathfrak {p} _n$

est une chaîne des idéaux principaux du A et $de \ mathfrak {q} _1 \ supseteq \ mathfrak {q} _2 \ supseteq \ cdots \ supseteq \ mathfrak {q} _m$

( m < n ) est une chaîne des idéaux principaux du B tels que pour chaque m , $\ mathfrak {q} _i$ de ≤ du i de 1 ≤ se trouve au-dessus du $\ du mathfrak {p} _i$ , puis la chaîne $de \ mathfrak {q} _1 \ supseteq \ mathfrak {q} _2 \ supseteq \ cdots \ supseteq \ mathfrak {q} _m$

peut être prolongé à une chaîne $de \ mathfrak {q} _1 \ supseteq \ mathfrak {q} _2 \ supseteq \ cdots \ supseteq \ mathfrak {q} _n$

tels que pour chaque n , $\ mathfrak {q} _i$ de ≤ du i de 1 ≤ se trouve au-dessus du $\ du mathfrak {p} _i$ .

Propriétés Allantes-vers le haut et allantes-vers le bas

Laisser le A et le B être deux anneaux commutatifs avec l'unité , et laisser le f : Le B de → du A soit l'homomorphisme (unital) d'anneau de d'a tels que le B est une prolongation intégrale du f ( A ). Alors on dit que le f satisfait la propriété allante-vers le haut si la conclusion du théorème allant-vers le haut se tient pour le f ( A ) dans le B .

De même, si le f ( A ) est le intègralement clôturé, puis le f est dit de satisfaire la propriété allante-vers le bas si la conclusion du théorème allant-vers le bas se tient pour le f ( A ) dans le B .

Dans ce contexte, aller-vers le haut habituel et des théorèmes allants-vers le bas déclarent simplement que si le B est une prolongation intégrale du A , puis la carte d'inclusion de du A le B satisfait la propriété allante-vers le haut, et si, en outre, le A est intègralement fermé, puis la carte d'inclusion satisfait la propriété allante-vers le bas.

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