Monomorphisme

Dans le cadre de l'algèbre d'abrégé sur ou de l'algèbre universelle , un monomorphisme est simplement un homomorphisme injectif du .

Dans l'arrangement plus général de la théorie de catégorie de , un monomorphisme (également appelé un le morphism monic ou un mono) est un Gauche-cancellative Morphism , c., un $fde\; carte\backslash \; deux\; points\; X\; \backslash \; du\; à\; Y$ tels que le $f\; \backslash \; circ\; de\; g\_1\; =\; f\; \backslash \; circ\; g\_2\; \backslash \; implique\; g\_1\; =\; g\_2$ pour tous les morphisms $g\_1,\; g\_2\; \backslash \; deux\; points\; Z\; \backslash \; à\; X$.

Les monomorphismes sont une généralisation catégorique des fonctions injectives dans quelques catégories que les notions coïncident, mais les monomorphismes sont plus généraux, comme dans les exemples de au-dessous de .

Le duel d'un monomorphisme est un Epimorphism (c. un monomorphisme dans un C de catégorie est un epimorphism dans le duel C ^op de la catégorie ).

Terminologie

Le monomorphisme limites de compagnon et le Epimorphism de ont été à l'origine présentés par le Bourbaki ; Bourbaki emploie le monomorphisme de comme sténographie pour une fonction injective. Les premiers théoriciens de catégorie ont cru que la généralisation correcte de l'injectivity au contexte des catégories était la propriété donnée ci-dessus. Tandis que cela ne vaut pas exactement pour les cartes monic, il est très étroit, ainsi ceci a causé peu d'ennui, à la différence du cas des epimorphisms. La ruelle de Mac de Saunders de a essayé de faire une distinction entre ce qu'il a appelé les monomorphismes de , qui étaient des cartes dans une catégorie concrète dont les cartes fondamentales des ensembles étaient injectives, et les cartes monic de , qui sont des monomorphismes dans le sens catégorique du mot. Cette distinction n'a jamais hérité l'utilisation générale.

Relation à l'invertibility

Les cartes inversibles gauches sont nécessairement monic : si le l est un inverse gauche pour le f (signification $lf=id\_X$), alors le f est monic, en tant que le $f\; de\; \backslash \; circ\; g\_1\; =\; f\; \backslash \; circ\; g\_2\; \backslash \; implique\; lfg\_1\; =\; lfg\_2\; \backslash \; implique\; g\_1\; =\; g\_2$

Une carte inversible gauche s'appelle un ''' mono fendu de ''' de .

Un $f\; de\; carte\; \backslash \; deux\; points\; X\; \backslash \; à\; Y$ est monic si et seulement si la carte induite $f\_*\; \backslash \; deux\; points\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (Z,\; X)\; \backslash \; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (Z,\; Y)$ est le injectif pour tout le Z .

Exemples

Chaque morphism dans une catégorie concrète dont la fonction fondamentale est le injectif est un monomorphisme. Dans la catégorie de des ensembles , l'inverse se tient également ainsi les monomorphismes sont exactement les morphisms injectifs du . L'inverse se tient également dans la plupart des catégories naturelles des algèbres en raison de l'existence d'un objet libre sur un générateur. En particulier, il est vrai dans les catégories des groupes et des anneaux, et dans n'importe quelle catégorie abélienne .

Il n'est pas vrai généralement cependant, ce tous les monomorphismes doit être injectif dans d'autres catégories. Par exemple, dans la division de catégorie des groupes abéliens divisible du et des homomorphisms de groupe de entre eux il y a des monomorphismes qui ne sont pas injectifs : considérer le   du q de carte de quotient ; :   ;   du Q ; &rarr ;   ; Q / Z . Ce n'est clairement pas une carte injective ; néanmoins, c'est un monomorphisme dans cette catégorie. Pour voir ceci, noter cela si   du q ; o  ; f =   du q ; o  ; g pour le f ,   de quelques morphisms du g ; :   ; &rarr du G ; Q où le G est un certain   divisible du q de groupe abélien puis ; o  ; h = 0 où h = f - g (ceci semble raisonnable car c'est une catégorie additive ). Ceci implique que le h ( X ) est un nombre entier si &isin du X ; G . Si le h ( X ) n'est pas 0 alors, par exemple, $h\; de$

\ (\ frac {x} {4h (x)} \ droit) = laissé \ frac {1} {4}

de sorte que

$(q\; \backslash \; circ\; h)\; \backslash \; parti\; (\backslash \; frac\; \{x\}\; \{4h\; (x)\}\; \backslash )\; droit\; \backslash \; quantité\; nette\; de\; substance\; explosive\; 0$,

  du q de contradiction ; o  ; le h = 0, ainsi le h ( X ) = 0 et le q est donc un monomorphisme.

Concepts relatifs

Il y a également des concepts utiles du monomorphisme régulier , du monomorphisme fort , et du monomorphisme extrémal . Un régulier de monomorphisme égalise quelques paires parallèles de morphisms. Un monomorphisme extrémal est un monomorphisme qui ne peut pas être nontrivially factorisé par un epimorphism : Avec précision, si m =   du g ; o  ; le e avec le e un epimorphism, alors le e est un isomorphisme. Un monomorphisme fort satisfait une certaine propriété de levage en ce qui concerne les places commutatives impliquant un epimorphism.

Voir également

Fonction injective
Epimorphism
Isomorphisme
Subobject

.

Random links:

Description définie | Marshallton | Hank Borowy | 1923 en Irlande | Monomorfismo

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