Monodromy

Dans les mathématiques , le monodromy est l'étude de la façon dont les objets de l'analyse mathématique , de la topologie algébrique et de la géométrie différentielle se comportent pendant qu'ils « fonctionnent autour » d'une singularité . Pendant que le nom implique, la signification fondamentale du monodromy vient du « fonctionnement autour de séparément ». Elle est étroitement associée aux cartes de bâche de et à leur dégénération dans la ramification ; l'aspect provoquant des phénomènes monodromy est fonctions de ce certaines que nous pouvons souhaiter pour définir l'échouer pour être le single-valued pendant que nous « courons autour » d'un chemin encerclant une singularité. L'échec de monodromy mieux est mesuré en définissant un groupe monodromy : un groupe de transformations traitant les données qui codent ce qui se produit pendant que nous « courons autour de ».

Définition

Laisser $X$ être relié et localement relié basé topologique l'espace à bas point X , et laisser $p:\backslash tilde\; \{\}\; de\; X\; \backslash \; à\; X$ être une bâche avec le $F=p^\; de\; fibre\; \{-\; 1\}\; (x)$. Pour un $\backslash \; gamma\; de\; boucle\; :\; \backslash \; longrightarrow\; X$ basé à $x$, dénotent un ascenseur sous la carte de bâche (commençant à point $\backslash \; tilde\; \{\}\; de\; x\; \backslash \; dans\; F$) par le $\backslash \; tilde\; \{\backslash \; gamma\}$. En conclusion, nous dénotent par $\backslash \; tilde\; \{\}\; de\; x\; \backslash \; cdot\; \backslash \; gamma$ le $de\; point\; final\; \backslash \; tilde\; \{\backslash \; gamma\}\; (1)$, qui est généralement différent du $\backslash \; du\; tilde\; \{x\}$. Il y a des théorèmes qui déclarent que cette construction action donne une bonne de groupe bien définie du $fondamental\; du\; groupe\; \backslash \; pi\_1\; (X,\; x)$ sur F , et que stabilisateur de $\backslash \; tilde\; \{x\}$ est exactement $p\_\; \{*\}\; (\backslash \; pi\_1\; (\backslash \; tilde\; \{X\},\; \backslash \; tilde\; \{x\}))$, c., un élément $$ fixe un point dans le F si et seulement s'il est représenté par l'image d'une boucle dans le $\backslash \; tilde\; \{X\}$ basés au $\backslash \; au\; tilde\; \{x\}$. Cette action s'appelle l'action monodromy et le $correspondant\; d\text{'}homomorphisme\; \backslash \; pi\_1\; (X,\; x)\; \backslash \; longrightarrow\; Sym\; (F)$ est le monodromy.

Exemple

Ces idées ont été rendues la première fois explicites dans l'analyse complexe . En cours de suite analytique , une fonction qui est un de la fonction analytique F ( z ) dans un certain ouvert E de sous-ensemble du a perforé le D du disque donné

0 de < | z | < 1

peut être continué de nouveau dans le E , mais différentes valeurs. Par exemple si nous prenons F ( z ) de

= z de notation

et E à définir près

au sujet ( z ) de > 0

puis rond dans le sens contraire des aiguilles d'une montre de suite analytique le cercle

| z | = 0.5

résultera en retour, pas au F ( z ) mais F ( z ) +2&pi de

; i .

Dans ce cas-ci le groupe monodromy est la répétition infinie et l'espace de bâche est la couverture universelle du plan complexe perforé. Cette couverture peut être visualisée comme Helicoid (comme défini dans l'article helicoid) limité au $\backslash \; rho>0$. La carte de bâche est projection verticale, dans une certaine mesure s'effondrant la spirale de la manière évidente de prendre un avion perforé.

Équations dans le domaine complexe

Une application importante est aux équations où une solution simple peut donner plus loin linéairement les solutions indépendantes par la suite analytique . Les équations linéaires définies dans un réglé ouvert et relié S dans le plan complexe ont un groupe monodromy, que (plus avec précision) est une représentation linéaire du groupe fondamental S , récapitulant toutes les boucles rondes de suites analytiques dans le S . Le problème inverse, de construire l'équation (avec singularités régulières ), donné une représentation, s'appelle le problème de Riemann-Hilbert de .

Aspects topologiques et géométriques

Dans le cas d'une carte de bâche, nous la regardons comme cas spécial d'un Fibration , et employons la propriété de levage de Homotopy de « suivons » des chemins sur le bas X (nous de l'espace l'assumons Chemin-relié par pour la simplicité) pendant qu'ils sont soulevés vers le haut dans le C de couverture. Si nous suivons autour d'une boucle basée au X dans le X , que nous soulevons au début au c au-dessus du X , nous finirons à un certain c* de encore au-dessus du X ; il est tout à fait possible que &ne du c ; le c* de , et pour coder celui-ci considère l'action du &pi fondamental du groupe ; ₁ ( X , X ) comme groupe de permutation de sur l'ensemble de tout le c , comme groupe monodromy dans ce contexte.

Dans la géométrie différentielle, un rôle analogue est joué par le transport de parallèle de . Dans un le que principal B du paquet au-dessus d'un lissent le divers M , un raccordement de permet le mouvement « horizontal » des fibres au-dessus du m dans le M à l'adjacent. L'effet une fois appliqué aux boucles basées au m est de définir un groupe de Holonomy de de de traductions de la fibre au m ; si le groupe de structure de B est le G , c'est un sous-groupe du G qui mesure la déviation du B du G du M X de paquet de produit.

Définition par l'intermédiaire de théorie de Galois

Laisser le $\backslash \; mathbb\; \{F\}\; (x)$ dénotent le champ de des fractions du $de\; l\text{'}anneau\; \backslash \; du\; mathbb\; \{F\}$ où le $\backslash \; mathbb\; \{F\}$ est également un champ . Un $f\; d\text{'}élément\; (y)\; \backslash \; dans\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\; (y)$ détermine une prolongation finie de champ de $de$

\ mathbb {F} (x) \ hookrightarrow \ mathbb {F} (y)

par l'arrangement $f\; de$

(y) = x

ce qui n'est généralement pas Galois mais qui a la fermeture de Galois de $L\_\; de$

{f}. \, \ !

Le groupe associé de Galois de de la prolongation $L\_f/\backslash \; mathbb\; \{F\}\; (x)$ s'appelle le groupe monodromy de la prolongation.

Dans le cas du $\backslash \; du\; mathbb\; \{F\}\; =\; \backslash \; lathéorieextérieure\; de\; Riemann\; du\; mathbb\; \{C\}$ entre et tient compte de l'interprétation géométrique donnée ci-dessus. Dans le cas que le $de\; prolongation\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; (y)$ est déjà Galois, le groupe monodromy associé s'appelle parfois un groupe de de transformations de plate-forme.

Ceci a des raccordements avec la théorie de Galois de des espaces de bâche menant au théorème d'existence de Riemann de .

Voir également

Groupe de tresse de
Théorème de Monodromy de

.

Random links:

Hautes-Pyrénées | Giovanni Ribisi | Sarathy | Évidemment 5 croyants | Société de Francis Crowe | Monodromy

© 2007-2009 encyclopediefrancaise.com; le texte de cet article est distribué sous les termes de GFDL; en.wikipedia.org