Module simple

Dans l'algèbre d'abrégé sur , le du module d'a (est parti ou redresse) S au-dessus d'un R de l'anneau s'appelle le simple ou le irréductible si ce n'est pas le module 0 du zéro et si ses seulement sous-modules sont 0 et S . La compréhension des modules simples au-dessus d'un anneau est habituellement utile parce que ces modules forment le " ; blocks" de bâtiment ; de tous autres modules dans un certain sens.

Exemples

Les groupes abéliens sont identiques que le ''' - modules du ''' Z de . Le simple Z - les modules sont avec précision les groupes cycliques d'ordre de la perfection .

Si le K est un champ et le G est un groupe , alors une représentation de groupe du G est un laissé le module au-dessus du le kilogramme de l'anneau de groupe . Les modules simples du kilogramme de sont également connus comme représentations irréductibles du . Un but important de la théorie de représentation de est d'énumérer ces représentations irréductibles pour un groupe donné.

Donné un R d'anneau et un le gauche de l'idéal I dans le I du R alors est un simple R - module si et seulement si le I est un idéal gauche minimal dans le R (ne contient aucun autre idéal gauche non insignifiant). Le module $R/I$ de facteur de est un simple R - de module si et seulement si le I de est un idéal gauche maximal dans le R (n'est contenu dans aucun autre idéal gauche non trivial).

Propriétés

Les modules simples sont avec précision les modules de la longueur 1 de ; c'est une reformulation de la définition.

Chaque module simple est le indécomposable, mais l'inverse n'est en général pas vraie.

Chaque module simple est le cyclique, celui est lui est produit par un élément

Non chaque module a un sous-module simple ; considérer par exemple le Z - le de module Z à la lumière du premier exemple ci-dessus.

Si le S est un module et un simples f : &rarr du S ; Le T est un homomorphisme de module de , puis le f est l'homomorphisme nul ou le injectif. C'est parce que le grain du f est un sous-module du S et est ainsi, par la définition d'un module simple, 0 ou S . Si le T est également un module simple, alors le f est zéro ou un isomorphisme . C'est parce que l'image du f est un sous-module du T et est ainsi 0 ou T . Pris ensemble, ceci implique que l'anneau d'Endomorphism de de n'importe quel module simple est un anneau de Division de . Ce résultat est connu en tant que lemme de Schur de de .

L'inverse du lemme de Schur n'est pas vraie en général. Par exemple, le Z - le ''' du ''' Q de de module n'est pas simple, mais son anneau d'endomorphism est isomorphe au Q de champ.

Voir également

Les modules de Semisimple de sont des modules qui peuvent être écrits comme somme de sous-modules simples
Les groupes simples sont pareillement définis aux modules simples

Random links: