Module libre

Dans les mathématiques , un le module que libre est un objet libre dans la catégorie des modules donnés un S , un module libre d'ensemble sur le S est a (construction particulière a) librement de module avec S de base.

Chaque espace de vecteur est libre, et l'espace de vecteur libre sur un ensemble est un cas spécial d'un module libre sur un ensemble.

Définition

Un module libre est un module avec une base libre de : du un indépendant linéairement produisant de l'ensemble .

Pour un R - le M de module, le E d'ensemble = { e 1, e 2,… n de de e } sert de base libre au M si : Le E est un produisant de l'ensemble pour le M , c'est-à-dire chaque élément du M est une somme finie d'éléments du E multiplié par des coefficients dans le R ;

  • Le E est un ensemble libre qui est si le e du r 1 1 + e du r 2 2 +… + le n de du e du n de du r = 0 , puis le r 1 = r 2 =… = le r n = 0 (où le 0 est l'élément zéro du M et le 0 est l'élément zéro du R ).

    Si le R a le nombre invariable de base de , alors par définition deux bases quelconques ont la même cardinalité. La cardinalité de n'importe quelle (et donc chaque) base s'appelle le grade du libre M de module, et le M serait le exempt du grade n , ou simplement le exempt du grade fini si la cardinalité est finie.

    Noter qu'un corollaire immédiat de (2) est que les coefficients en (1) sont uniques pour chaque X .

    La définition d'une base libre infinie est semblable, sauf que le E aura infiniment beaucoup d'éléments. Cependant la somme doit être finie, et pour n'importe quel particulier X seulement de façon finie plusieurs des éléments du E sont ainsi impliqués.

    Dans le cas d'une base infinie, le grade du M est la cardinalité du E .

    Construction

    Donné un E d'ensemble, nous pouvons construire un libre R - module au-dessus du E , dénoté par le C ( E ), comme suit :
    Le comme ensemble, le C ( E ) de contient le f de fonctions : &rarr du E ; R tels que f ( X ) = 0 pour le cofinitely de beaucoup de (tout sauf de façon finie beaucoup) X dans le E .
    Addition de : pour le f , &isin de deux éléments du g ; Le C ( E ), nous définissons le f + &isin du g ; C ( E ) par ( f + g ) ( X ) = f ( X ) + g ( X ) pour tout le &isin du X ; E .
    Multiplication scalaire de : pour le &alpha ; &isin ; &isin du R et du f ; Le C ( E ), nous définissons le &alpha ; &isin du f ; C ( E ) près (&alpha ; f ) ( X ) = &alpha ; f ( X ) pour tout le &isin du X ; E .

    • Une base pour le C ( E ) est donnée par l'ensemble {&Delta ; de un : un &isin de ; E } où \ Delta_a de (x) = \ commencer {des cas} 1, \ x=a de quadruple \ mbox {si} ; \ \ 0, \ quadruple \ mbox {si} x \ quantité nette de substance explosive A. \ extrémité {cas}

    Définir le &iota de cartographie ; : &rarr du E ; C ( E ) par &iota ; ( un ) = &Delta ; de un . Ceci qui trace donne un bijection entre le E et les vecteurs de base {&Delta ; de un de de } un &isin de ; E . Nous pouvons identifier ainsi ces espaces. Alors le E devient une base linéairement indépendante pour le C ( E ).

    Propriété universelle

    Le &iota de cartographie ; : &rarr du E ; Le C ( E ) défini ci-dessus est le universel dans le sens suivant. Si &phi ; est une cartographie arbitraire du E à un certain R - le M de module, puis là existe un &psi de cartographie unique ; : &RARR DU C ( E ) ; M tels que &phi ; = &psi ; &iota de o ;.

    Voir également


    objet libre

    .

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