Module de Semisimple

Définition

Dans l'algèbre d'abrégé sur , un module serait le semisimple (ou le complètement réductible) si c'est la somme directe de sous-modules (irréductibles) simples du .

C'est plus fort que le complètement décomposable, ce qui est une somme directe de sous-modules indécomposables ).

Ici, l'anneau bas est un anneau avec l'unité, cependant pas nécessairement le commutatif.

Définitions équivalentes

Pour un M de module, ce qui suit est équivalent : le M de

est une somme directe de modules irréductibles.

Le M est la somme de ses sous-modules irréductibles.

Chaque sous-module du M est un summand direct : pour chaque N de sous-module du M , il y a un P de complément tels que du M ; = ; du N ; ⊕ ; P .

Pour $3 \ implique 2$ , l'idée commençante est de trouver un sous-module irréductible en sélectionnant n'importe quel $x \ dans M$ et en laissant $P$ être un sous-module maximal tels que $x \ notin P$ . Il peut montrer que le complément de $P$ est irréductible.

Propriétés

si le M est semisimple et le N est un sous-module , puis le N et le M / N sont également semisimple.

si chaque $M_i$ est un module de semisimple, puis est ainsi $\ oplus_i M_i$ .
Le M de module du

A est le de façon finie produit et le semisimple si et seulement s'il est Artinian et son radical est zéro.

Anneaux de Semisimple

Un anneau serait (gauche) - le semisimple si c'est semisimple comme module gauche au-dessus de lui-même. Étonnant, un anneau gauche-semisimple est également droit-semisimple et vice versa. Par conséquent, on laisse tomber souvent quantifier gauche/bon tout à fait et parle simplement des anneaux de semisimple.

Les anneaux de Semisimple sont d'intérêt particulier aux algebraists. Par exemple, si le bas R d'anneau est semisimple, puis tout le R - les modules seraient automatiquement semisimple. En outre, chaque (laissé) simple R - le module est isomorphe à un idéal gauche minimal du R .

Les anneaux de Semisimple sont également petits (ils sont Artinian et noethérien). Des propriétés ci-dessus, un anneau est semisimple si et seulement s'il est Artinian et son radical est zéro.

Semisimple contre les anneaux simples

On devrait prendre garde de cela en dépit de la terminologie, non que tous les anneaux simples sont le semisimple . Le problème est que l'anneau peut être " ; trop big" ; , et probablement pas (parti/droit) Artinian. En fait, si le R est un anneau simple avec idéal gauche/bon minimal, puis le R est le semisimple.

Les exemples classiques de simple, mais pas du semisimple, anneaux sont les algèbres de Weyl de tel que le Q < X , le y > ( de x/y - yx -1 de ) qui est un domaine non commutatif simple . Ceux-ci et beaucoup d'autres exemples gentils sont discutés en plus détail en plusieurs textes non commutatifs de théorie d'anneau, y compris le chapitre 3 du texte de la fuite, en lequel ils sont décrits en tant qu'anneaux simples nonartinian. La théorie de module de pour les algèbres de Weyl est bien étudiée et diffère de manière significative de celle des anneaux de semisimple.

Exemples

si le k est un champ et le G est un groupe fini du n d'ordre, puis de l'anneau de groupe $k$ est semisimple si et seulement si le caractéristique de k ne divise pas le n . C'est un résultat important dans la théorie de représentation de groupe de .

par le Artin-Wedderburn_theorem , un R d'anneau est semisimple si et seulement s'il est (isomorphe) le $\ périodes M_n (D_r)$ , où chaque $D_i$ est un anneau de Division de et $M_n (D)$ est l'anneau du n - par des matrices du n avec des entrées dans le D .

Voir également

Socle

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