Module d\'Artinian

Dans l'algèbre d'abrégé sur , un module d'Artinian de est un module qui remplit la condition à chaînes descendante sur ses sous-modules. C'est une généralisation du concept de l'anneau d'Artinian de , qui est simplement un anneau qui est un module d'Artinian au-dessus de lui-même (avec la multiplication gauche ou bonne). Les deux concepts sont appelés pour le Emil Artin .

Comme les modules noethériens , les modules d'Artinian apprécient la propriété suivante d'hérédité :
Si le M est un R d'Artinian - le module, alors est ainsi n'importe quel sous-module et n'importe quel quotient du M . D'inverse les prises également :
Si le M est n'importe quel module du R et le N n'importe quel sous-module d'Artinian tels que le M / N est Artinian, alors le M est Artinian. Par conséquent, n'importe quel module fini-produit au-dessus d'un anneau d'Artinian est Artinian. Puisqu'un anneau d'Artinian est également noethérien, et les modules fini-produits au-dessus d'un anneau noethérien sont noethériens, il est vrai que pour un R , n'importe quel fini-produit R d'anneau d'Artinian - le module est noethérien et Artinian, et serait de la longueur finie ; cependant, si le R n'est pas Artinian, ou si le M n'est pas de façon finie produit, il y a les contre-exemples .

Modules gauches et droits d'Artinian

Si l'anneau de la définition est le R , alors comme dans la condition que le R lui-même soit Artinian, quand le R n'est pas commutatif il y a une certaine distinction entre les concepts des modules gauche- et droits-Artinian au-dessus du R . À savoir, le R serait Artinian gauche si, comme module au-dessus de lui-même par l'intermédiaire de la multiplication du côté gauche, c'est Artinian ; Artinian de même droit. Cependant, si le M est n'importe quel gauche R - le module qui est Artinian, puis lui par définition est laissé Artinian et la distinction n'a pas besoin d'être faite. De temps en temps le même M de groupe abélien est réalisé en tant que gauche et un bon R - module dans différentes manières, dans ce cas, pour séparer les propriétés des deux structures, on peut maltraiter la notation et se rapporter au M en tant qu'Artinian gauche ou Artinian droit quand, à proprement parler, il est correct de dire que le M , avec son gauche R - structure de module, est Artinian, etc.

Relation à l'état noethérien

À la différence de la caisse d'anneaux, il y a les modules d'Artinian qui ne sont pas les modules noethériens par exemple, considèrent le p - composant primaire de/de

\ mathbb {Q} \ mathbb {Z}

, qui est/de

\ mathbb {Z} \ mathbb {Z}

, qui est isomorphe au p -

du groupe de Quasicyclic de \ mathbb {Z} (p^ {\ infty})

, considéré comme le

\ mathbb {Z}

-module. Le

1/p \ rangle \ sous-ensemble \ langle 1/p^2 \ rangle \ sous-ensemble \ langle 1/p^3 \ rangle \ cdots

ne se termine pas, ainsi le

\ mathbb {Z} (p^ {\ infty})

(et donc/de

\ mathbb {Q} \ mathbb {Z}

) n'est pas noethérien. Pourtant chaque chaîne descendante (sans perte de généralité proprement dite) des sous-modules se termine : Chaque tel chaîne a forme

\ langle 1/n_1 \ rangle \ supseteq \ langle 1/n_2 \ rangle \ supseteq \ langle 1/n_3 \ rangle \ cdots

pour un certain nombre entier

n_1, n_2, n_3,

…, et inclusion de

\ langle 1/n_ {i+1} \ rangle \ subseteq \ langle 1/n_i \ rangle

implique que le

n_ {i+1}

doit diviser

n_i

. Ainsi

n_1, n_2, n_3,

… est un ordre décroissant des nombres entiers positifs. Ainsi l'ordre se termine, faisant le

\ mathbb {Z} (p^ {\ infty})

Artinian.

Au-dessus d'un anneau commutatif, chaque module d'Artinian de répétition est également noethérien, mais au-dessus des anneaux non commutatifs les modules cycliques d'Artinian peuvent avoir la longueur incomptable suivant les indications de l'article de Hartley et récapitulé bien dans l'article de Cohn consacré à la mémoire de Hartley.

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