Mesure de Lebesgue

Dans les mathématiques , la mesure de Lebesgue de , baptisée du nom de Henri Lebesgue , est la manière standard d'assigner une longueur , le secteur ou le volume aux sous-ensembles de l'espace euclidien . Elle est employée dans toute la vraie analyse , en particulier pour définir l'intégration de Lebesgue de . Place qui peut être assigné un volume s'appelle le Lebesgue mesurable ; le volume ou la mesure du mesurable A d'ensemble de Lebesgue est dénoté par le λ ( A ). Une mesure de Lebesgue de ∞ est possible, mais néanmoins, assumant l'axiome de du choix , non tous les sous-ensembles de n de ^{du R sont Lebesgue mesurable. Le " ; strange" ; le comportement des ensembles Non-mesurables provoque des rapports tels que le paradoxe , une conséquence de Banach-Tarski de de l'axiome du choix.}

La mesure de Lebesgue est souvent $dénoté \, dx$ , mais ceci ne devrait pas être confondu avec la notion distincte du d'une forme de volume de .

Exemples

Si le A est un intervalle fermé '' b '', alors sa mesure de Lebesgue est le &minus du b de longueur ; un . L'intervalle ouvert ( un , b ) a la même mesure, puisque la différence entre les deux ensembles a la mesure zéro.
Si le A est le produit cartésien des intervalles '' b '' et '' d '', alors c'est un rectangle et sa mesure de Lebesgue est le secteur (&minus de b ; un ) (&minus de d ; c ).
Le chantre réglé de est un exemple d'un ensemble incomptable qui a la mesure zéro de Lebesgue.

Propriétés

La mesure de Lebesgue sur le n de ^{du R a les propriétés suivantes : si le A est un produit cartésien des × du I ₁ des intervalles ; × du I ₂ ; … × ; Le n , alors le A de _{du I est Lebesgue mesurable et $\ lambda (A)=|I_1|\ cdot |I_2|\ cdots |I_n|.$ ici, | I | dénote la longueur du I d'intervalle.}
Si le A est un disjoignent l'union de façon finie des beaucoup ou le comptable beaucoup de disjoignent les ensembles mesurables de Lebesgue, alors le A est lui-même Lebesgue mesurable et le λ ( A ) est égal à la somme (ou à séries infinies ) des mesures des ensembles mesurables impliqués.
Si le A est Lebesgue mesurable, alors est ainsi son complément .
≥ 0 de λ ( A ) pour chaque mesurable A d'ensemble de Lebesgue.
Si le A et le B sont Lebesgue mesurable et le A est un sous-ensemble de B , puis λ de ≤ de λ ( A ) ( B ). (Conséquence d'A de 2, de 3 et de 4.)
Les syndicats comptables et les intersections des ensembles mesurables de Lebesgue sont Lebesgue mesurable. (Pas une conséquence de 2 et de 3, parce qu'une famille des ensembles qui est fermée sous des compléments et disjoignent les syndicats comptables n'a pas besoin d'être fermée sous les syndicats comptables : $\ {\ emptyset, \ {1.4 \} \}$
de .) Si le A est un ouvert ou par sous-ensemble de fermé n de ^{du R (ou même Borel réglé, voient l'espace métrique ), alors le A est Lebesgue mesurable.}
Si le A est un ensemble mesurable de Lebesgue, alors c'est " ; approximativement open" ; et " ; approximativement closed" ; dans le sens de la mesure de Lebesgue (voir le théorème de régularité de pour la mesure de Lebesgue).
La mesure de Lebesgue est le localement le militaire de carrière intérieur fini de et de , et ainsi c'est une mesure de radon de .
La mesure de Lebesgue est strictement que positifs sur non vide ouvrent des ensembles, et ainsi son appui est la totalité de n de ^{du R .}
Si le A est un ensemble mesurable de Lebesgue avec le λ ( A ) = 0 (un ensemble nul ), alors chaque sous-ensemble de A est également un ensemble nul. Le a fortiori , chaque sous-ensemble de A est mesurable.
Si le A est Lebesgue mesurable et le X est un élément du n de ^{du R , alors la traduction de du de A par x , définie par le A + X = { + X : le un A de ∈ de }, est également Lebesgue mesurable et a la même mesure que le A .}
Si le A est Lebesgue mesurable et le $\ delta>0$ , alors la dilatation de de $A$ par le $\ delta$ a défini par le $\ delta A= \ {\ delta X : X \ dans A \}$ est aussi Lebesgue mesurable et a mesure $\ delta^ {} de n \ lambda \, (A)$ .
Plus généralement, si le T est une transformation linéaire et le A est un sous-ensemble mesurable de n de ^{du R , puis le T ( A ) est également Lebesgue mesurable et a le $de mesure|\ det (T)|\, \ lambda \, (A)$ .}
Si le A est un sous-ensemble mesurable de Lebesgue de n de ^{du R et de f est une fonction continue injectif du du f ( A ) du n} de ^{du A au R alors est également un ensemble mesurable. Tout le ce qui précède peut être succinctement récapitulé comme suit : le
les ensembles mesurables de Lebesgue forment une σ-algèbre contenant tous les produits des intervalles, et le &lambda ; est la traduction complète - la mesure invariable du unique du sur ce &sigma ; - algèbre avec le $\ lambda (\ périodes 1 \ périodes \ cdots \ périodes 1)=1.$
La mesure de Lebesgue a également la propriété d'être le σ-fini.

Ensembles nuls
voient également :
l'ensemble nul Un sous-ensemble de n de ^{du R est un ensemble nul de si, pour chaque > de ε ; 0, il peut être couvert comptable de beaucoup de produits des intervalles du n dont le volume total est tout au plus ε. Tous les ensembles comptables du sont les ensembles nuls, mais il y a des ensembles dans le n} de ^{du R dont la dimension est plus petit que le n qui ne sont pas les ensembles nuls. Les arcs remplissants de l'espace dans le R ² sont des exemples.}
Afin de prouver qu'un réglé donné A est Lebesgue mesurable, on essaye habituellement de trouver un " ; nicer" ; placer le B qui diffère du A seulement par un ensemble nul (dans le sens ce la différence symétrique (&minus de A ; $du B ) \ cup$ (&minus de B ; Le A ) est un ensemble nul) et puis prouve que le B peut être produit using les syndicats et les intersections comptables des ensembles ouverts ou fermés.

Construction de la mesure de Lebesgue
La construction moderne de la mesure de Lebesgue, basée sur les mesures externes est due au Carathéodory . Elle procède comme suit : Pour le n'importe quel B de sous-ensemble de du n de ^{du R , nous pouvons définir un $\ lambda^*$ par : = de $\ lambda^*(B) de \ FNI \ {\ operatorname {vol.} (m) : M \ supseteq B \}$ , et $M \$ est une union comptable des produits des intervalles. ( M ) est somme du produit des longueurs des intervalles impliqués. Nous définissons alors le A d'ensemble pour être Lebesgue mesurable si = de $\ lambda^*(B) de \ lambda^* (+ d'A \ chapeau B) \ lambda^* (B - A)$}
pour tout le B d'ensembles. Ces ensembles mesurables de Lebesgue forment une σ-algèbre , et la mesure de Lebesgue est définie par le λ ( A ) = λ^* ( A ) pour n'importe quel mesurable A d'ensemble de Lebesgue.
Selon le théorème de Vitali de là existe un sous-ensemble du R de vrais nombres qui n'est pas Lebesgue mesurable.

Relation à d'autres mesures
La mesure de Borel de est conforme à la mesure de Lebesgue sur ces ensembles pour lesquels elle est définie ; cependant, il y a beaucoup plus d'ensembles Lebesgue-mesurables qu'il y a les ensembles mesurables de Borel. La mesure de Borel est traduction-invariable, mais pas le complet. La mesure de Haar de peut être définie sur n'importe quel localement rendent le groupe compact de et sont une généralisation de la mesure de Lebesgue (le n de ^{de R avec l'addition est un groupe localement compact).}
La mesure de Hausdorff (voir la dimension de Hausdorff de ) est une généralisation de la mesure de Lebesgue qui est utile pour mesurer les sous-ensembles de n de ^{du R des dimensions inférieures que le n , comme le Submanifolds par exemple, les surfaces ou les courbes dans le ³ du R et les ensembles de la fractale . La mesure de Hausdorff ne doit pas être confondue avec la notion de la dimension de Hausdorff.}
Il peut montrer que le là n'est aucun analogue infini-dimensionnel de la mesure de Lebesgue.

Histoire
Le Henri Lebesgue a décrit sa mesure dans le 1901 , suivi l'année prochaine de sa description du Lebesgue intégral. Tous les deux ont été édités en tant qu'élément de sa dissertation dans le 1902 .
Voir également

Théorème de la densité de Lebesgue de}

.
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