Mereology

Le Mereology est une collection des premières théories d'ordre de axiomatique traitant des pièces et leurs wholes respectifs. Mereology est une application de la logique d'attribut et une branche de l'ontology formel .

Histoire

Le raisonnement partie-entier sans cérémonie a été consciemment appelé en métaphysique et Ontology de Aristote en avant, et plus ou moins inconsciemment dans des mathématiques du 19ème siècle jusqu'au triomphe de la théorie des ensembles autour de 1910. Ivor Grattan-Guinness (2001) jette beaucoup de lumière le raisonnement partie-entier pendant le 19ème et les début du 20ème siècles, et revues comment le chantre et le Peano ont conçu la théorie des ensembles . Apparemment, le premier à raisonner consciemment et longuement au sujet des pièces et des wholes était Edmund Husserl dans ses investigations 1901 logiques de (Husserl 1970 est la traduction en anglais). Cependant, le " de mot ; mereology" ; est absent de ses écritures, et il n'a utilisé aucun symbolisme quoique son doctorat ait été dans les mathématiques.

" inventé par de Stanisław Leśniewski de ; mereology" ; en 1927, du μέρος grec de mot (méros , " de ; part" ;), pour se rapporter à une théorie formelle de partie-entier il a conçu dans une série fortement - d'exposés techniques édités entre 1916 et 1931, et traduits en Leśniewski (1992). Le Alfred Tarski de l'étudiant de Leśniewski, dans son annexe E à Woodger (1937) et le papier traduits comme Tarski (1984), a considérablement simplifié le formalisme de Leśniewski. D'autres étudiants (et étudiants des étudiants) de Lesniewski ont élaboré ce " ; Mereology" polonais ; au cours du 20ème siècle. Pour un bon choix de la littérature sur le mereology polonais, voir Srzednicki et le Rickey (1984). Pour un aperçu de mereology polonais, voir le Simons (1987). Depuis 1980 environ, cependant, la recherche sur le mereology polonais a été presque entièrement d'une nature historique. Whitehead prévu mais jamais non édité quatrième de Principia Mathematica de sur la géométrie . Sa correspondance 1914 avec le Bertrand Russell indique que son approche destinée à la géométrie peut être vue, avec l'avantage de la rétrospection, comme mereological essentiellement. Ce travail a abouti à Whitehead (1916) et aux systèmes mereological de Whitehead (1919, 1920).

En 1930, Henry Leonard a rempli une dissertation de Harvard Ph. en philosophie, visant une théorie formelle de la relation partie-entière. Ceci s'est transformé en le " ; calcul d'individuals" ; de Goodman et de Leonard (1940). L'bon homme a mis à jour et a élaboré ce calcul dans les trois éditions de Goodman (1951). Le calcul des individus est le point de départ pour la renaissance post-1970 du mereology parmi des logiciens, des ontologists, et des informaticiens, une renaissance bien-examinée en Simons (1987) et Casati et Varzi (1999).

Les textes standard d'université sur la logique et les mathématiques sont silencieux au sujet du mereology, qui a assurément contribué à son obscurité imméritée. Bien que le mereology soit une application de la logique mathématique , discutablement une sorte de " ; la proto-géométrie, " ; il a été complètement développé par des logiciens, des ontologists , et des informaticiens, particulièrement ceux travaillant en intelligence artificielle .

Axiomes et notions primitives

Il est possible de formuler un " ; mereology" naïf ; analogue à la théorie des ensembles naïve . Faire provoque ainsi des paradoxes analogues au paradoxe de Russell de . Laissé il y ait un O d'objet tels que chaque objet qui n'est pas une partie appropriée de lui-même est une partie appropriée de O . Le O est-il par partie appropriée de lui-même ? Pas, parce qu'aucun objet n'est une partie appropriée de lui-même ; et oui, parce qu'il répond à l'exigence définie pour l'inclusion comme partie appropriée de O . (Chaque objet est, naturellement, une pièce inexacte du de lui-même. Des autres, bien que différemment structuré, paradoxe peuvent être faits using la pièce inexacte de au lieu de la pièce appropriée de ; et des autres using la pièce inexacte ou appropriée de .) Par conséquent le mereology exige une formulation axiomatique du .

Un " mereological ; system" ; est une théorie de premier ordre (avec identité ) dont l'univers de du discours se compose des wholes et de leurs pièces respectives, collectivement appelée les objets de . Mereology est une collection de systèmes axiomatiques nichés et non-nichés pas à la différence du cas avec la logique modale .

Le traitement, la terminologie, et l'organisation hiérarchique ci-dessous suivent Casati et Varzi (1999 : chpt. Les lettres minuscules dénotent des variables s'étendant au-dessus des objets. Après chaque axiome ou définition symbolique est le nombre de la formule correspondante dans Casati et Varzi, écrit en gras.

Un système mereological exige au moins une relation binaire (attribut dyadique primitif de ). Le choix le plus conventionnel pour une telle relation est Parthood (également appelé le " ; inclusion" ;), " ; le X est une pièce y , " ; écrit Pxy . Presque tous les systèmes exigent cet ordre de Parthood de partiellement l'univers. Les relations définies suivantes, exigées pour les axiomes ci-dessous, suivent immédiatement du Parthood seul :
Un attribut défini immédiat est " ; X est une pièce appropriée y , " ; écrit le PPxy , qui se tient (c., est satisfait par , sort vrai) si le Pxy est vrai et Pyx est faux. Si Parthood est un ordre partiel]], ProperPart est un ordre partiel strict . $PPxy \ leftrightarrow (Pxy \ et Pyx).3 de$ un objet manquant des pièces appropriées est un atome . L'univers mereological se compose de tous les objets que nous souhaitons penser environ, et de toutes leurs pièces appropriées :
Chevauchement de : chevauchement du X et du y , écrit le Oxy , si là existe un z d'objet tels que le Pzx et le Pzy tous les deux se tiennent. $Oxy \ leftrightarrow \ existe z \ et Pzy.1 de$ les parties de z , le " ; overlap" ; ou " ; product" ; du X et du y , sont avec précision ces objets qui font partie de X et de y .
Underlap : underlap du X et du y , écrit le Uxy , si là existe un z d'objet tels que le X et le y sont les deux parties de z . $Oxy \ leftrightarrow \ existe z \ et Pyz.2 Le chevauchement et l'Underlap sont le réfléchi, le symétrique, et dans le transitif. Les systèmes varient dans quelles relations ils prennent comme primitif et comme défini. Par exemple, dans des mereologies extensional (définis ci-dessous), le Parthood peut être défini du chevauchement comme suit : Pxy \ leftrightarrow (Ozx \ rightarrow Ozy).31 : Les axiomes sont : Le de Parthood de commande partiellement l'univers : M1, réfléchi de : Un objet est une partie de lui-même. m2, antisymmétrique du P.1 du de \ Pxx. de : Si le Pxy et Pyx tous les deux se tiennent, alors le X et le y sont le même objet.$
$(Pxy \ et) de Pyx \ rightarrow X = M3, transitif du P.$ de : Si Pxy et Pyz , puis Pxz . $de (Pxy \ et Pyz) \ P.$ M4, supplémentation faible de : Si le PPxy se tient, là existe un z tels que les prises mais le Ozx de Pzy de ne fait pas. $PPxy \ rightarrow \ existe z \ et \ P.$

M5, supplémentation forte de : Remplacer le " ; PPxy holds" dans M4 avec le " ; Le Pyx ne fait pas hold." ; le $de \ lnot Pyx \ rightarrow \ existe z \ et \ P.$
supplémentation atomistique de du

M5' : Si le Pxy ne se tient pas, alors là existe un z d'atome tels que les prises mais le Ozy de Pzx de ne fait pas. le $de \ lnot Pxy \ rightarrow \ existe z \ et \ lnot Ozy \ et \ lnot \ existe v [PPvz].5' dessus de : Là existe un " ; object" universel; , indiqué W , tels que le PxW se tient pour n'importe quel X . le de \ existe le dessus du 3. est un théorème si M8 se tient.$
le fond de

: Là existe un " atomique ; object" nul ; , indiqué N , tels que le PNx se tient pour n'importe quel X . le $de \ existe le 3.$

M6, somme de : Si le Uxy se tient, là existe un z , appelé le " ; sum" ; ou " ; fusion" ; du X et du y , tels que les parties de z sont juste ces objets qui font partie de X du ou de y . $Uxy \ rightarrow \ existe z \ forall v \ leftrightarrow (Ovx \ ou Ovy).6$

M7, produit de : Si le Oxy se tient, là existe un z , appelé le " ; product" ; du X et du y , tels que les parties de z sont juste ces objets qui font partie de X du et de y .

Oxy \ rightarrow \ existe z \ forall v \ leftrightarrow (Pvx \ et Pvy).7 de

si le Oxy ne se tient pas, le X et le y n'ont aucune pièce en commun, et le produit du X et du y est les prises définies du fond de du IFF .
M8, fusion sans restriction de : Laisser le &phi ; ( X ) être une formule de premier ordre du dans laquelle le X est une variable libre . Alors de toute la fusion objecte le &phi satisfying ; existe. le

de   \ existe le xz (x) \ rightarrow \ forall y [Oyz \ leftrightarrow (\ phi (x) \ et Oyx)].8 de

s'appelle également le " ; Principe général de somme, " ; " ; Composition sans restriction en Mereological, " ; ou " ; Universalism." ; M8 correspond au principe de de la compréhension sans restriction de la théorie des ensembles naïve , qui provoque le paradoxe de Russell de . Il n'y a aucune contre-partie mereological à ce paradoxe simplement parce que le Parthood , à la différence d'appartenance à un ensemble, est le réfléchi.
fusion unique de du

M8' : Les fusions dont l'existence M8 affirme sont également uniques.8

M9, atomicité de : Tous les objets sont des atomes ou des fusions des atomes. le $de \ existe yz \ et \ P.$

Divers systèmes

Simons (1987) et Casati et Varzi (1999) décrivent beaucoup de systèmes mereological dont les axiomes sont pris de la liste ci-dessus. Nous adoptons la nomenclature en caractères gras de Casati et de Varzi. Le plus connu un tel système est celui appelé le le mereology extensional classique , le ci-après abrégé CEM (d'autres abréviations sont expliquées ci-dessous).8 comme axiomes ou sont les théorèmes. M9, supérieur, et inférieur sont facultatifs.

Les systèmes dans la table ci-dessous sont le partiellement commandé par l'inclusion , dans le sens que si tous les théorèmes du système A sont également les théorèmes du système B, mais l'inverse n'est pas nécessairement vrai, puis le de B inclut A. Le diagramme en résultant de Hasse de est semblable à celui dans fig.2 en Casati et Varzi (1999 : 48).

Mereology et théorie des ensembles

Théorie des ensembles rejetée par de Stanisław Leśniewski de , une position qui est venue pour être connue comme Nominalism . Pendant longtemps, presque tous les philosophes et mathématiciens ont évité le mereology, la voyant comme équivalente à un rejet de théorie des ensembles. L'bon homme était aussi un nominalist, et son semblable Richard Milton Martin de nominalist a utilisé une version du calcul des individus dans toute sa carrière, commençant en 1941.

Beaucoup de premiers travaux sur le mereology ont été motivés par un soupçon que la théorie des ensembles était suspect du ontologically , et que le rasoir d'Occam de exige qu'on réduisent au minimum le nombre de pose en principe dans sa théorie du monde et de mathématiques. Mereology remplace l'entretien du " ; sets" ; des objets avec l'entretien du " ; sums" ; des objets, objets n'étant pas plus que les diverses choses qui composent des wholes.

Beaucoup de logiciens et de philosophes rejettent ces motivations, pour des raisons telles que :
Ils nient que les ensembles sont de quelque façon ontologically suspects ;
Le rasoir d'Occam de , une fois appliqué aux objets abstraits comme des ensembles, est un principe douteux ou simplement faux ;
Mereology lui-même est coupable de nouvelles et ontologically suspectes entités de prolifération un tel des fusions. Pour un aperçu des tentatives de fonder des mathématiques sans employer la théorie des ensembles, voir Burgess et le Rosen (1997).

Dans les années 70, merci en partie à Eberle (1970), il est graduellement venu pour être compris qu'on peut utiliser le mereology indépendamment de sa position ontologique concernant des ensembles. Cet arrangement s'appelle le " ; innocence" ontologique ; du mereology. Cette innocence provient du mereology étant formalizable de l'une ou l'autre de deux manières équivalentes :
Variables mesurées s'étendant au-dessus d'un univers des ensembles ;
Le schématique affirme avec une variable libre simple. Une fois qu'il apparaissait clairement que le mereology n'est pas équivalent à un démenti de théorie des ensembles, le mereology est devenu en grande partie admis comme outil utile pour l'Ontology formel et la métaphysique .

Dans la théorie des ensembles, les singletons sont " ; atoms" ; ce qui ont no pièces appropriées (non vides) ; beaucoup considèrent la théorie des ensembles inutile ou incohérente (pas " ; well-founded" ;) si des ensembles ne peuvent pas être accumulés des liasses d'imprimés. On a pensé le calcul des individus pour exiger qu'un objet l'un ou l'autre n'ont aucune pièce appropriée, dans ce cas c'est un " ; atome, " ; ou pour être la somme mereological d'atomes. Eberle (1970) a montré comment construire un calcul avec des individus manquant du " ; " des atomes ; , c., un où chaque objet a un " ; part" approprié ; (défini ci-dessous) de sorte que l'univers soit infini.

Il y a des analogies entre les axiomes du mereology et ceux de la théorie des ensembles (ZF) de Zermelo-Fraenkel de standard, si le Parthood est pris comme analogue au sous-ensemble dans la théorie des ensembles. Sur la relation du mereology et du ZF, voir également la Bunt (1985). Un très du peu de théoricien contemporain d'ensemble pour discuter le mereology est le potier (2004).

Le Lewis (1991) est allé plus loin, montrant officieusement ce mereology, augmenté par quelques prétentions ontologiques du et quantification plurielle , et du raisonnement original au sujet des singletons , rendements de un système dans lequel un individu donné peut être un membre et un sous-ensemble des autres individus. Dans le système en résultant, les axiomes du ZFC (et de Peano arithmétique) sont des théorèmes.

Mereology et mathématiques

Husserl n'a jamais réclamé que les mathématiques pourraient ou devrait être fondu dans partie-entier plutôt que la théorie des ensembles. Lesniewski a consciemment dérivé son mereology comme alternative à la théorie des ensembles comme base de des mathématiques , mais n'a pas établi les détails. Goodman et Quine (1947) essayés pour développer le les vrais nombres normaux de et de using le calcul des individus, mais étaient la plupart du temps non réussis ; Quine n'a pas réimprimé que l'article dans son a choisi les papiers de logique. Dans une série de chapitres dans les livres il a édité dans la dernière décennie de sa vie, Richard Milton Martin présentée pour faire quels bon homme et Quine avait abandonné 30 ans d'antérieur. Un problème périodique avec des tentatives de rectifier des mathématiques dans le mereology est comment accumuler la théorie des relations tandis que l'abstention des définitions placer-théorétiques du commandait les paires . Martin a argué du fait que 1970) théories d'Eberle's (d'individus apparentés ont résolu ce problème.

Jusqu'ici, les seules personnes bien entraînées dans les mathématiques à écrire sur le mereology ont été Alfred Tarski et Rolf Eberle. Eberle (1970) a clarifié la relation entre le mereology et l'algèbre booléenne , et la théorie des ensembles de mereology et. Il est l'un très des peu de contribuants au mereology pour prouver le sain et le complet chaque système qu'il décrit.

Des notions topologiques du des frontières et le raccordement peuvent être mariés au mereology, ayant pour résultat le Mereotopology ; voir Casati et le Varzi (1999 : chpts. Le processus 1929 de du de Whitehead et la réalité contient beaucoup de sans cérémonie Mereotopology .

Mereology et de langage naturel

Bunt (1985), une étude de la sémantique de langage naturel, montre comment le mereology peut aider à comprendre des phénomènes tels que le masse-comptent la distinction et l'aspect de verbe de . Néanmoins, le de langage naturel utilise souvent le " ; of" de partie ; des manières ambiguës (Simons 1987 discute ceci longuement). Par conséquent il est peu clair comment, le cas échéant, on peut traduire certaines expressions de langage naturel en attributs mereological. La direction clairement de telles difficultés peut exiger limiter l'interprétation du mereology aux mathématiques et à la science normale . Casati et Varzi (1999), par exemple, limitent la portée du mereology aux objets physiques

Deux aperçus importants

Les livres Simons (1987) et Casati et Varzi (1999) diffèrent dans leurs forces :
Simons (1987) voit le mereology principalement comme manière de formaliser l'Ontology et la métaphysique . Ses forces incluent les raccordements entre le mereology et :
Le travail du Stanislaw Leśniewski et ses descendants ;
Divers philosophes continentaux, particulièrement Edmund Husserl ;
Philosophes techniques qui parlent anglais contemporains tels que l'amende de kit de et le Roderick Chisholm ;
Travaux récents sur l'ontology formel et la métaphysique , y compris des continuants, des occurrents, des noms de masse des noms de classe de et la dépendance ontologique et intégrité ;
Logique libre comme logique de fond ;
Mereology de élargissement avec la logique de temps de et la logique modale ;
Algèbres booléennes et théorie de trellis de .
Casati et Varzi (1999) voient le mereology principalement comme manière de comprendre le monde matériel et comment les humains agissent l'un sur l'autre avec lui. Leurs forces incluent les raccordements entre le mereology et :
Un " ; proto-geometry" ; pour les objets physiques ;
Topologie et Mereotopology , particulièrement frontières , régions, et trous ;
Une théorie formelle des événements
théorique de l'informatique ;
Les écritures du Alfred Whitehead du nord , particulièrement son processus de et réalité et travail sont descendues de là.

Simons consacre l'effort considérable aux notations historiques d'élucidation. La notation de Casati et de Varzi est devenue plus ou moins norme pour la recherche courante. Les deux livres incluent d'excellentes bibliographies.

Voir également

Matière collante
Mereological essentialism
Nihilisme de Mereological de
Mereotopology
Simples
La géométrie point-libre de Whitehead de

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