Matrix exponentiel

Dans les mathématiques , la matrice exponentiel de est une fonction de Matrix de sur les matrices carrées analogues à la fonction exponentielle ordinaire. Abstrait, la matrice exponentielle donne le raccordement entre une algèbre de Lie de de matrice et le groupe de Lie correspondant .

Laisser le X être des × du n un ; vraie matrice complexe de du n ou . L'exponentiel du X , dénoté par le X ou exp ( X ) de ^{du e , est les × du n ; matrice du n donnée par la série entière $e^X\; de$}

= \ ^ du sum_ {k=0} \ infty {X^k \ au-dessus de k !}.

La série ci-dessus converge toujours, ainsi l'exponentiel du X est bien défini. Noter cela si le X est un 1× ; 1 matrice la matrice exponentielle du X est un 1× ; 1 matrice comprenant l'ordinaire exponentiel de l'élément simple du X .

Propriétés

Laisser le X et le Y être des × du n ; les matrices complexes du n et ont laissé le un et le b soient des nombres complexes arbitraires. Nous dénotons les × du n ; matrice d'identité de du n par $I$ et la matrice zéro par le 0 . La matrice exponentielle satisfait les propriétés suivantes :

$e^0\; =\; I.\; \backslash ,$
e^ de $e^\; \{hache\}\; \{bX\}\; =\; e^\; \{(a+b)\; X\}.\; \backslash ,$
E^ du $e^\; \{X\}\; \{-\; X\}\; =\; I.\; \backslash ,$
Si $AB\; =,\; de\; BA\; \backslash ,\; e^\; du$ e^\; de$puis\; \{A\}\; \{B\}\; =\; e^\; \{A+B\}.\; \backslash ,$
Si $Y$ est le $e^\; inversible\; du\; puis\; \{YXY^\; \{-\; 1\}\}\; =\; Ye^XY^\; \{-\; 1\}.$
$\backslash \; det\; (e^X)\; =\; e^\; \{\backslash mbox\{TR\}\; (x)\}$, où TR ( X ) est la trace du X .
exp ( X ^T) = ( X d'exp) ^T, où le X ^T dénote le transposent du X . Il suit que si le X est le symétrique puis le X de ^{du e est également symétrique, et que si le X est le biaiser-symétrique puis le X} de ^{du e est le orthogonal.
exp ( X *) = ( X d'exp) *, où le X * dénote le conjugé de transposent du X . Il suit que si le X est le hermitien puis le X} de ^{du e est également hermitien, et que si le X est le biaiser-Hermitien puis le X} de ^{du e est le unitaire.}

Équations linéaires

Une des raisons de l'importance de la matrice exponentielle est qu'elle peut être employée pour résoudre des systèmes des équations ordinaires linéaire. En effet, il découle de l'équation (1) au-dessous de celle la solution du $de\; \backslash \; du\; frac\; \{d\}\; \{décollement\}\; y\; (t)\; =\; Ay\; (t),\; \backslash quadrupley\; (0)\; =\; y\_0,$ là où le A est une matrice, est donné par le $y\; de\; (t)\; =\; e^\; \{à\}\; y\_0.\; \backslash ,$ La matrice exponentielle peut également être employée pour résoudre le $de\; d\text{'}équation\; \backslash \; frac\; non\; homogènes\; \{d\}\; \{décollement\}\; y\; (t)\; =\; Ay\; (t)\; +\; z\; (t),\; \backslash \; quadruple\; y\; (0)\; =\; y\_0.$ Voir la section de sur des applications au-dessous de pour des exemples.

Il n'y a aucune solution de forme close pour des équations du $de\; de\; forme\; \backslash \; du\; frac\; \{d\}\; \{décollement\}\; y\; (t)\; =\; A\; (t)\; \backslash ,\; y\; (t),\; \backslash \; quadruple\; y\; (0)\; =\; y\_0,$ là où le A n'est pas constant, mais les séries de Magnus de donne la solution comme somme infinie.

L'exponentiel des sommes

Nous savons que la fonction exponentielle satisfait le $e^\; \{x+y\}\; =e^xe^y$ pour n'importe quel X de vrais nombres (grandeurs scalaires) et y . Il en va de même pour les matrices de permutation : Si le X de matrices et le Y permutent (signification qui DE X/Y = YX ), puis le $e^\; de\; \{X+Y\}\; =\; e^Xe^Y.\; \backslash ,$ Cependant, s'ils ne permutent pas, puis l'égalité ci-dessus ne se tient pas nécessairement. Dans ce cas, nous pouvons employer la formule de Boulanger-Campbell-Hausdorff de pour calculer le $e^\; \{X+Y\}$.

La carte exponentielle

Noter que l'exponentiel d'une matrice est toujours une matrice non singulière . Le inverse du X de ^{du e est donné par &minus du e ; X . C'est analogue au fait que l'exponentiel d'un nombre complexe est toujours différent de zéro. La matrice exponentielle nous donne alors un $dede\; carte\backslash \; exp\; \backslash \; deux\; points\; M\_n\; (\backslash \; mathbb\; C)\; \backslash \; à\; \backslash ,\; de\; mbox\; \{GL\}\; (n\; \backslash \; mathbb\; C)$ de l'espace de tous les × du n ; matrices du n au groupe linéaire général , c. le groupe de de toutes les matrices non singulières. En fait, cette carte est le surjectif qui signifie que le chaque matrice non singulière de peut être écrit en tant qu'exponentiel d'une autre matrice (pour ceci, il est essentiel de considérer le C de champ des nombres complexes et pas le R ). Le logarithme de Matrix de donne un inverse à cette carte.}

Pour n'importe quel X de deux matrices et Y , nous prenons

$\backslash |\; e^\; \{X+Y\}\; -\; e^X\; \backslash |\; \backslash \; le\; \backslash |Y\; \backslash |\; e^\; \{\backslash |X\; \backslash |\}\; e^\; \{\backslash |Y\; \backslash |\},$

là où ||  ; · ;   ; || dénote une norme arbitraire de Matrix de . Il suit que la carte exponentielle est le continu et le Lipschitz continu sur des sous-ensembles du contrat n ( C ) de _{du M .}

La carte , d'e^ de $t\; \backslash \; mapsto\; de$

{tX} \ qquad t \ dans \ mathbb R

définit une courbe lisse du dans le groupe linéaire général qui traverse l'élément d'identité au t = 0. En fait, ceci donne à un sous-groupe d'Un-paramètre du groupe linéaire général depuis e^ de $e^\; de$

{tX} {sX} = e^ {(t+s) X}. \,

Le dérivé de cette courbe (ou de vecteur de tangente de ) à un t de point est donné près $de$

\ e^ du frac {d} {décollement} {tX} = Xe^ {tX}. \ qquad (1)

Le dérivé au t = 0 est juste le X de matrice, qui est de dire que le X produit de ce sous-groupe d'un-paramètre.

Plus généralement,

$\backslash \; frac\; \{d\}\; \{décollement\}\; e^\; \{X\; (t)\}\; =\; \backslash \; int\_0^1\; e^\; \{(1\; \backslash \; alpha)\; X\; (t)\}\; \backslash \; frac\; \{dX\; (t)\}\; \{décollement\}\; e^\; \{\backslash \; alpha\; X\; (t)\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; alpha.$

Calculant la matrice exponentielle

Trouvant les méthodes fiables et précises pour calculer la matrice exponentielle est difficile, et c'est toujours une matière de recherche courante considérable dans les mathématiques et l'analyse numérique. Quelques méthodes sont énumérées ci-dessous.

Cas Diagonalizable

Si une matrice est le diagonal : le $A=\; de$

\ commencent {bmatrix} a_1 et 0 et \ ldots et 0 \ \ 0 et a_2 et \ ldots et 0 \ \ \ vdots et \ vdots et \ ddots et \ \ de vdots \ 0 et 0 et \ ldots et a_n \ extrémité {bmatrix},

alors son exponentiel peut être obtenu par exponentiating juste chaque entrée sur la diagonale principale : le $e^A=\; de$

\ commencent {l'e^ de bmatrix} {a_1} et 0 et \ ldots et 0 \ \ 0 et e^ {a_2} et \ ldots et 0 \ \ \ vdots et \ vdots et \ ddots et \ \ de vdots \ 0 et 0 et \ ldots et e^ {} d'a_n \ extrémité {bmatrix}.

Ceci permet également un aux matrices diagonalizable d'exponentiate. Si A = ^{&minus du UDU ; 1} et D est diagonal, puis le A de ^{du e} = ^{&minus du U du D} de ^{d'Ue de ; 1}. L'application de la formule de Sylvester de donne le même résultat.

Cas Nilpotent

Un N de matrice est le nilpotent si le q de ^{du N} = 0 pour un certain q de nombre entier. Dans ce cas-ci, le exponentiel N de ^{du e de matrice peut être calculé directement de l'expansion de série, car la série se termine après un nombre fini de limites : $e^N\; de$}

= I + N + \ + du frac {1} {2} N^2 \ frac {1} {6} N^3 + \ + de cdots \ frac {1} {(q-1) !}N^ {q-1}.

Cas général

Un arbitraire X de matrice (au-dessus d'un champ arbitraire) peut être exprimé uniquement en tant que le $X\; de\; de\; somme\; =\; l\text{'}A\; +\; N\; \backslash ,$ là où
Le A est diagonalizable
Le N est nilpotent
Le A permute avec le N (c. = Na de )

Ceci signifie que nous pouvons calculer l'exponentiel du X par la réduction aux deux cas précédents : $e^X\; de\; =\; e^\; \{A+N\}\; =\; e^A\; e^N.\; \backslash ,$ Noter que nous avons besoin du commutativity du A et du N pour que la dernière étape fonctionne.

Une autre méthode (étroitement liée) si le champ est le algébriquement clôturé est de travailler avec la forme de la Jordanie de du X . Supposer que le J est la forme de la Jordanie du X , avec le P la matrice de transition. Puis =Pe^ du $e^\; de$

{X} {J} P^ {- 1}. \,

En outre, depuis

$J=J\_\; \{a\_1\}\; (\backslash \; lambda\_1)\; \backslash \; oplus\; J\_\; \{a\_2\}\; (\backslash \; lambda\_2)\; \backslash \; oplus\; \backslash \; cdots\; \backslash \; oplus\; J\_\; \{a\_n\}\; (\backslash \; lambda\_n),$

Calculs

Supposer que nous voulons calculer l'exponentiel de le $B=\; de$

\ commencent {bmatrix} 21 et 17 et 6 \ \ -5 et -1 et -6 \ \ 4 et 4 &16 \ extrémité {bmatrix}.

Sa forme de la Jordanie est le $J\; de$

= les PBP^ {- 1} = \ commencent {bmatrix} 4 et 0 et 0 \ \ 0 &16 et 1 \ \ 0 et 0 &16 \ extrémité {bmatrix},

là où la matrice de transition est donnée près le $P=\; de$

\ commencent {bmatrix} - \ frac14 et 2 et \ frac54 \ \ \ frac14 et -2 et - \ frac14 \ \ 0 et 4 et 0 \ extrémité {bmatrix}.

D'abord calculons exp ( J ). Nous avons

$J=J\_1\; (4)\; \backslash \; oplus\; J\_2\; (16)$

L'exponentiel d'un 1× ; 1 matrice est juste l'exponentielle de l'une entrée de la matrice, ainsi exp ( J ₁(4)) =. L'exponentiel de $J\_2\; (16)$ peut être calculé par la formule exp (&lambda ; N de $I$+) = ^{&lambda du e ;} exp ( N ) mentionné ci-dessus ; ceci rapporte le $de$

\ exp \ a laissé (\ commencer {bmatrix} 16 et 1 \ \ 0 &16 \ extrémité {bmatrix} \ droit)

e^ {16} \ exp \ est parti (\ commencer {bmatrix} 0 et 1 \ \ 0 et 0 \ extrémité {bmatrix} \ droits)

l'e^ {16} \ est parti (\ commencer {bmatrix} 1 et 0 \ \ 0 et 1 \ extrémité {bmatrix} + \ commencent {bmatrix} 0 et 1 \ \ 0 et 0 \ extrémité {bmatrix} + {1 \ plus de 2 !}\ commencer {bmatrix} 0 et 0 \ \ 0 et 0 \ extrémité {bmatrix} + \ cdots \ droits)

\ commencent {e^ de bmatrix} {16} et e^ {16} \ \ 0 et e^ {16} \ extrémité {bmatrix}.

Par conséquent, l'exponentiel du original B de matrice est $de$

\ exp (B)

P \ exp (J) P^ {- 1}

P \ commencent {bmatrix} e^4 et 0 et 0 \ \ 0 et e^ {16} et e^ {16} \ \ 0 et 0 et e^ {16} \ extrémité {bmatrix} P^ {- 1}

{1 \ plus de 4} \ commencer {bmatrix}

13e^ {16} - e^4 et 13e^ {16} - - 2e^4 \ 5e^4 et 2e^ {16} \ -9e^ {16} + e^4 et -9e^ {16} + 5e^4 et -2e^ {16} + 2e^4 \ \ 16e^ {16} et 16e^ {16} et 4e^ {16} \ extrémité {bmatrix}.

Applications

Équations linéaires

La matrice exponentielle a des applications aux systèmes du rappel linéaire des équations plus tôt dedans de cet article ce une équation de la forme &prime du y de

; = y de C

a le y (0) du X de ^{C du e de solution. Si nous considérons le vecteur le $de$}

\ mathbf {y} (x) = \ commencent {pmatrix} y_1 (x) \ \ \ \ de vdots \ y_n (x) \ extrémité {pmatrix}

nous pouvons exprimer un système des équations linéaires couplées As $de$

\ mathbf {y} '(x) = A \ mathbf {y} (x)+ \ mathbf {b}

Si nous faisons un Ansatz et employons un facteur d'intégration de ^{&minus du e ; La hache} de et se multiplient partout, nous obtiennent

$e^\; \{-\}\; de\; hache\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; \text{'}(x)\; -\; e^\; \{-\; hache\}\; A\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; =\; e^\; \{-\; hache\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}$
$D\; (e^\; \{-\}\; de\; hache\; \backslash \; mathbf\; \{y\})\; =\; e^\; \{-\}\; de\; hache\; \backslash \; mathbf\; \{b\}$

Si nous pouvons calculer la hache de de ^{du e , alors nous pouvons obtenir la solution au système.}

Exemple (homogène)

Disent que nous avons le système le $de$

\ commencent {matrice} \ du &=& 2x&-y&+z de x \ \ du &=& &3y&-1z de y \ &=& de z 2x&+y&+3z \ extrémité {matrice}

Nous avons la matrice associée le $M=\; de$

\ commencent {bmatrix} 2 et -1 et 1 \ \ 0 et 3 et -1 \ \ 2 et 1 et 3 \ extrémité {bmatrix}

Dans l'exemple ci-dessus, nous avons calculé la matrice exponentielle le $e^\; de$

{TM} = \ commencent {bmatrix} 2e^t - 2te^ {2t} et -2te^ {2t} et 0 \ \ -2e^t + 2 (e^ t+1) e^ {2t} et 2 (t+1) {2t} et 0 \ \ 2te^ {2t} et 2te^ {2t} et 2e^t \ extrémité {bmatrix}

ainsi la solution générale du système est le $de$

\ commencent {bmatrix} \ \ de x \ y \ z \ extrémité {bmatrix} = C_1 \ commencent {bmatrix} 2e^t - \ 2te^ {2t} \ - 2e^t + 2 e^ (t+1) {2t} \ \ 2te^ {2t} \ extrémité {bmatrix} +C_2 \ commence {bmatrix} - 2te^ {2t} \ \ 2 e^ (t+1) {2t} \ \ 2te^ {2t} \ extrémité {bmatrix} +C_3 \ commencent {bmatrix} 0 \ \ 0 \ \ 2e^t \ extrémité {bmatrix}

c'est-à-dire, le $de$

\ commencent {matrice} X &=& C_1 (2e^t - 2te^ {2t}) + (- 2te^ {2t}) \ C_2 \ \ +C_2 du &=& C_1 de y (- 2e^t + 2 e^ (t+1) {2t}) (2 e^ (t+1) {2t}) \ &=& de z (C_1+C_2) (2te^ {2t}) +2C_3e^t \ extrémité {matrice}

Cas non homogène - variation des paramètres

Pour le cas non homogène, nous pouvons employer les facteurs d'intégration (une méthode apparentée à la variation de de paramètres ). Nous cherchons une solution particulière du y _p ( t ) de de forme = le z ( t ) de d'exp ( tA ) :

$\backslash \; mathbf\; \{y\}\; \_p\; =\; (e^\; \{tA\})\; « \backslash \; mathbf\; \{z\}\; (t)+e^\; \{tA\}\; \backslash \; mathbf\; \{z\} »\; (t)$
$=\; Ae^\; \{tA\}\; \backslash \; mathbf\; \{z\}\; (t)+e^\; \{tA\}\; \backslash \; mathbf\; \{z\}\; « (t)$
$=\; A\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; \_p\; (t)+e^\; \{\}\; de\; tA\; \backslash \; mathbf\; \{z\} »\; (t)$

Pour le y _p de à être une solution :

$e^\; \{tA\}\; \backslash \; mathbf\; \{z\}\; « (t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; (t)$
$\backslash \; mathbf\; \{z\} »\; (t)\; =\; (e^\; \{tA\})\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; (t)$
$\backslash \; mathbf\; \{z\}\; (t)\; =\; \backslash \; int\_0^t\; e^\; \{-\}\; d\text{'}uA\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; (u)\; \backslash ,\; du+\; \backslash \; mathbf\; \{c\}$

Ainsi,

$\backslash \; mathbf\; \{y\}\; \_p\; =\; e^\; \{tA\}\; \backslash \; int\_0^t\; e^\; \{-\; uA\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; (u)\; \backslash ,\; du+e^\; \{tA\}\; \backslash \; mathbf\; \{c\}$
$=\; \backslash \; int\_0^t\; e^\; \{(le\; TU)\; A\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; (u)\; \backslash ,\; du+e^\; \{\}\; de\; tA\; \backslash \; mathbf\; \{c\}$ là où le c de est déterminé par les conditions initiales du problème.

Exemple (non homogène)

Dire que nous avons le système le $de$

\ commencent {matrice} \ du &=& 2x&-y&+z&+e^ {2t} de x \ \ du &=& &3y&-1z& de y \ z &=& 2x&+y&+3z&+e^ {2t} \ extrémité {matrice}

Ainsi nous avons alors le $M=\; de$

\ commencent {bmatrix} 2 et -1 et 1 \ \ 0 et 3 et -1 \ \ 2 et 1 et 3 \ extrémité {bmatrix}

et le $de\; \backslash \; =e^\; du\; mathbf\; \{b\}\; \{2t\}\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \; \backslash \; 0\; \backslash \; \backslash \; 1\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}.$

De avant, nous avons la solution générale à l'équation homogène, puisque la somme des solutions homogènes et particulières donnent la solution générale au problème non homogène, maintenant nous devons seulement trouver la solution particulière (par l'intermédiaire de la variation des paramètres).

Nous avons, en haut :

$\backslash \; mathbf\; \{y\}\; \_p\; =\; e^\; \{t\}\; \backslash \; int\_0^t\; e^\; \{(-\; u)\; A\}\; \backslash \; commencent\; \{e^\; de\; bmatrix\}\; \{2u\}\; \backslash \; \backslash \; 0\; \backslash \; \backslash \; e^\; \{2u\}\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; \backslash ,\; du+e^\; \{\}\; de\; tA\; \backslash \; mathbf\; \{c\}$

$\backslash \; mathbf\; \{y\}\; \_p\; =\; e^\; \{\}\; de\; t\; \backslash \; int\_0^t\; \backslash \; commencer\; \{le\; bmatrix\}\; 2e^u\; -\; 2ue^\; \{2u\}\; et\; -2ue^\; \{2u\}\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; -2e^u\; +\; 2\; (e^\; u+1)\; e^\; \{2u\}\; et\; 2\; (u+1)\; \{2u\}\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 2ue^\; \{2u\}\; et\; 2ue^\; \{2u\}\; et\; 2e^u\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; \backslash \; commence\; \{e^\; de\; bmatrix\}\; \{2u\}\; \backslash \; \backslash \; 0\; \backslash \; \backslash \; e^\; \{2u\}\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; \backslash ,\; du+e^\; \{\}\; de\; tA\; \backslash \; mathbf\; \{c\}$

$\backslash \; mathbf\; \{y\}\; \_p\; =\; e^\; \{\}\; de\; t\; \backslash \; int\_0^t\; \backslash \; commencer\; \{le\; bmatrix\}\; e^\; \{2u\}\; (2e^u\; -\; 2ue^\; \{2u\})\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; e^\; \{2u\}\; (-\; 2e^u\; +\; 2\; (1\; +\; u)\; \backslash \; de\; l\text{'}e^\; \{2u\})\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 2e^\; \{3u\}\; +\; 2ue^\; \{4u\}\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; +e^\; \{\}\; de\; tA\; \backslash \; mathbf\; \{c\}$ le $de$

\ _p du mathbf {y} = l'e^ {t} \ commencent {bmatrix} - {1 \ plus de 24} e^ {3t} (3e^t (4t-1) - 16) \ \ \ \ {1 \ plus de 24} e^ {3t} (3e^t (4t+4) - 16) \ \ \ \ {1 \ plus de 24} e^ {3t} (3e^t (4t-1) - 16) \ extrémité {bmatrix} + \ commencer {le bmatrix} 2e^t - 2te^ {2t} et -2te^ {2t} et 0 \ \ \ \ -2e^t + 2 (e^ t+1) e^ {2t} et 2 (t+1) {2t} et 0 \ \ \ \ 2te^ {2t} et 2te^ {2t} et 2e^t \ extrémité {bmatrix} \ commencent {bmatrix} c_1 \ \ c_2 \ \ c_3 \ extrémité {bmatrix}

ce qui peut être encore simplifié pour obtenir la solution particulière requise déterminée par la variation des paramètres.

Voir également

Logarithme de Matrix de
Fonction exponentielle
Carte exponentielle
Écoulement de vecteur de
Inégalité de D'or-Thompson de
Phase-type distribution

.

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