Matrice triangulaire

Dans la discipline mathématique du de l'algèbre linéaire , une matrice triangulaire est un genre spécial de matrice carrée au-dessous d'où les entrées ou au-dessus de la diagonale principale sont zéro. Puisque des équations de la matrice il est plus facile résoudre avec les matrices triangulaires elles sont très importantes dans l'analyse numérique . La décomposition de LU de donne un algorithme pour décomposer n'importe quel A de la matrice inversible en inférieur normed L de matrice de triangle et supérieur U de matrice de triangle.

Description

Une matrice du $de\; de\; forme\; \backslash \; du\; mathbf\; \{L\}\; =\; \backslash \; commencer\; \{le\; bmatrix\}\; l\_\; \{1.1\}\; et\; et\; et\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; l\_\; \{2.2\}\; et\; et\; et\; \backslash \; \backslash \; l\_\; \{3.2\}\; et\; \backslash \; ddots\; et\; et\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; vdots\; et\; \backslash \; vdots\; et\; \backslash \; ddots\; et\; \backslash \; ddots\; et\; \backslash \; \backslash \; l\_\; \{n,\; 1\}\; et\; l\_\; \{n,\; 2\}\; et\; \backslash \; ldots\; et\; l\_\; \{n,\; n-1\}\; et\; l\_\; \{n,\; n\}\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}$

s'appelle la matrice triangulaire inférieure ou la matrice triangulaire laissée par , et de façon analogue une matrice du $de\; de\; forme\; \backslash \; du\; mathbf\; \{U\}\; =\; \backslash \; commencer\; \{le\; bmatrix\}\; u\_\; \{1.3\}\; et\; \backslash \; ldots\; et\; \backslash \; de\; l\text{'}u\_\; \{1,\; n\}\; \backslash \; et\; u\_\; \{2.3\}\; et\; \backslash \; ldots\; et\; \backslash \; de\; l\text{'}u\_\; \{2,\; n\}\; \backslash \; et\; et\; \backslash \; ddots\; et\; \backslash \; ddots\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; vdots\; \backslash \; et\; et\; et\; \backslash \; ddots\; et\; \backslash \; de\; l\text{'}u\_\; \{n-1,\; n\}\; \backslash \; 0\; et\; et\; et\; et\; u\_\; \{n,\; n\}\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}$

s'appelle la matrice triangulaire supérieure ou matrice triangulaire la bonne.

Les opérations standard sur les matrices triangulaires préservent commodément la forme triangulaire : la somme et le produit de deux matrices triangulaires supérieures est encore triangulaire supérieur. L'inverse d'une matrice triangulaire supérieure est également triangulaire supérieur, et naturellement nous pouvons multiplier une matrice triangulaire supérieure par une constante et elle sera toujours triangulaire supérieur. Ceci signifie que les matrices triangulaires supérieures forment un Subalgebra de l'anneau des matrices carrées pour n'importe quelle taille donnée. Le résultat analogue se tient pour les matrices triangulaires inférieures. Note, cependant, que le produit d'un inférieur triangulaire avec une matrice triangulaire supérieure du fait le triangularity de conserve du pas .

Formulaires spéciaux

Une matrice triangulaire avec les entrées zéro sur la diagonale principale est le strictement supérieur ou plus bas triangulaire. Tout strictement les matrices triangulaires sont le nilpotent.

Si les entrées sur la diagonale principale sont 1, la matrice se nomme l'unité triangulaire supérieur et inférieur supérieur et inférieur ou par normed de de . (le cependant, une matrice de normed par n'est pas identique comme normal de la matrice de , et une matrice de d'unité de n'est pas identique que le le de la matrice d'unité de de .)

Une matrice de gauss de de est un formulaire spécial d'une matrice triangulaire normed par de , où toutes les entrées au loin-diagonales sont zéro, excepté les entrées dans une colonne. Une telle matrice s'appelle également le le atomique la matrice supérieure et inférieure triangulaire ou de de de gauss (transformation). Ainsi une matrice triangulaire inférieure atomique est du _ de $\backslash \; mathbf\; de\; de\; forme\; \{L\}\; \{I\}\; =\; \backslash \; commencer\; \{le\; bmatrix\}\; 1\; et\; et\; et\; et\; et\; et\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; \backslash \; ddots\; et\; et\; et\; et\; et\; et\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; \backslash \; ddots\; et\; 1\; et\; et\; et\; et\; et\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; \backslash \; ddots\; et\; 0\; et\; 1\; et\; et\; et\; et\; \backslash \; \backslash \; et\; et\; 0\; et\; l\_\; \{i+1,\; I\}\; et\; 1\; et\; et\; et\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; vdots\; et\; et\; 0\; et\; l\_\; \{i+2,\; I\}\; et\; 0\; et\; \backslash \; ddots\; et\; et\; \backslash \; \backslash \; et\; et\; \backslash \; vdots\; et\; \backslash \; vdots\; et\; \backslash \; vdots\; et\; \backslash \; ddots\; et\; 1\; et\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; \backslash \; pointille\; et\; 0\; et\; l\_\; \{n,\; I\}\; et\; 0\; et\; \backslash \; pointille\; et\; 0\; et\; 1\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}.$ L'inverse d'une matrice triangulaire atomique du est encore triangulaire atomique. En effet, nous avons le $de\; \backslash \; le\; ^\; \_\; du\; mathbf\; \{L\}\; \{I\}\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; commencer\; \{le\; bmatrix\}\; 1\; et\; et\; et\; et\; et\; et\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; \backslash \; ddots\; et\; et\; et\; et\; et\; et\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; \backslash \; ddots\; et\; 1\; et\; et\; et\; et\; et\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; \backslash \; ddots\; et\; 0\; et\; 1\; et\; et\; et\; et\; \backslash \; \backslash \; et\; et\; 0\; et\; -\; l\_\; \{i+1,\; I\}\; et\; 1\; et\; et\; et\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; vdots\; et\; et\; 0\; et\; -\; l\_\; \{i+2,\; I\}\; et\; 0\; et\; \backslash \; ddots\; et\; et\; \backslash \; \backslash \; et\; et\; \backslash \; vdots\; et\; \backslash \; vdots\; et\; \backslash \; vdots\; et\; \backslash \; ddots\; et\; 1\; et\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; \backslash \; pointille\; et\; 0\; et\; -\; le\; l\_\; \{n,\; I\}\; et\; 0\; et\; \backslash \; pointille\; et\; 0\; et\; 1\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\},$ i. les entrées au loin-diagonales sont remplacées par leurs opposúx.

Propriétés spéciales

Une matrice qui est simultanément supérieure et plus bas triangulaire est le diagonal. La matrice d'identité est la seule matrice qui est supérieure normed et plus bas triangulaire.

Une matrice qui est simultanément triangulaire et le normal, est également diagonale. Ceci peut être vu en regardant les entrées diagonales du A du A ^* et du aa ^*, où le A est une matrice normale et triangulaire.

Le transposent d'une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire inférieure et vice versa. Le déterminant d'une matrice triangulaire égale le produit des entrées diagonales, et les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont les entrées diagonales.

Le variable L est utilisé généralement pour la matrice triangulaire inférieure, se tenant pour inférieur/à gauche, alors que le variable U ou le R est utilisé généralement pour la matrice triangulaire supérieure, se tenant pour supérieur/droit.

Généralement, des opérations peuvent être effectuées sur les matrices triangulaires dans la moitié du temps qui est nécessaire pour la même opération sur une matrice générale.

Généralisations

Puisque le produit de deux matrices triangulaires supérieures est encore triangulaire supérieur, l'ensemble de matrices triangulaires supérieures forme une algèbre . Les algèbres des matrices triangulaires supérieures ont une généralisation normale dans l'analyse fonctionnelle qui rapporte les algèbres de nid de sur les espaces de Hilbert

L'ensemble de matrices triangulaires inversibles constituent un groupe , et sont un sous-groupe de toutes les matrices inversibles. L'ensemble de 2 par 2 matrices triangulaires s'appelle le sous-groupe parabolique ; 3 par 3 et plus grandes matrices triangulaires normed constituent le groupe de Heisenberg de . Tous les deux sont des exemples d'un sous-groupe de Borel de .

Les matrices triangulaires supérieures stabilisent le drapeau standard , ainsi (sans base) l'analogue abstrait des matrices triangulaires supérieures sont le stabilisateur d'un drapeau complet , ou alternativement un sous-groupe de Borel de .

L'analogue abstrait des matrices triangulaires supérieures de bloc sont le stabilisateur d'un drapeau partiel , ou alternativement un sous-groupe parabolique .

Abaisser les matrices triangulaires stabilisent le drapeau produit par, de $e\_n\; \backslash \; pointille,\; e\_1$ (la base standard à l'envers l'ordre). Plus généralement, dans une base adaptée à un drapeau complet , les matrices triangulaires inférieures sont le stabilisateur du drapeau orthogonal (donné par $W\_i\; =\; ^\; de\; V\_\; \{Ni\}\; \backslash \; perp$).

Exemples

Le $de\; de\; matrice\; \backslash \; commencer\; \{le\; bmatrix\}\; 1\; et\; 4\; et\; 2\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 3\; et\; 4\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 0\; et\; 1\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}$ est le $supérieur\; triangulaire\; et\; de$
de
\ commencer {le bmatrix} 1 et 0 et 0 \ \ 2 et 8 et 0 \ \ 4 et 9 et 7 \ \ \ extrémité {bmatrix} sont plus bas triangulaires.

Le $de\; de\; matrice\; \backslash \; commencer\; \{le\; bmatrix\}\; 1\; et\; 0\; et\; 0\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 1\; et\; 0\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 4\; et\; 1\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 2\; et\; 0\; et\; 1\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}$ est triangulaire inférieur atomique. Son inverse est le $de\; \backslash \; commencer\; \{le\; bmatrix\}\; 1\; et\; 0\; et\; 0\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 1\; et\; 0\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; -4\; et\; 1\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; -2\; et\; 0\; et\; 1\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}.$

Application

Matrice équation dans forme

$\backslash \; mathbf\; \{L\}\; \backslash \; =\; du\; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}$

ou = de $\backslash \; mathbf\; \{U\}\; \backslash \; mathbf\; de$

{x} \ mathbf {b}

il est très facile résoudre. Le Lx d'équation de matrice = b peut être écrit comme système des équations linéaires

$\backslash \; commencer\; \{la\; matrice\}\; \backslash \; de\; l\_\; \{1.1\}\; x\_1\; et\; et\; et\; et\; et\; =\; et\; b\_1\; \backslash \; l\_\; \{2.1\}\; x\_1\; et\; +\; et\; \backslash \; de\; l\_\; \{2.2\}\; x\_2\; et\; et\; et\; =\; et\; b\_2\; \backslash \; \backslash \; vdots\; et\; et\; \backslash \; vdots\; et\; \backslash \; ddots\; et\; et\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; vdots\; \backslash \; l\_\; \{m,\; 1\}\; x\_1\; et\; +\; et\; l\_\; \{m,\; 2\}\; x\_2\; et\; +\; \backslash \; ldots\; x\_m\; +\; et\; du\; l\_\; \{m,\; m\}\; et\; =\; et\; \backslash \; de\; b\_m\; \backslash \; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}$

ce qui peut être résolu par = récursif suivant de $de\; de\; relation\; x\_1\; \backslash \; frac\; \{b\_1\}\; \{l\_\; \{1.1\}\},\; =\; de$ $x\_2\; \backslash \; frac\; \{b\_2\; -\; le\; l\_\; \{2.2\}\},$ de\; de$\backslash \; =\; de\; x\_m\; de$ $$
des vdots \ frac {b_m - \ x_i de l_ ^ de sum_ {i=1} {m-1} {m, I}} {l_ {m, m}}.

Une équation de matrice avec un supérieur U de matrice triangulaire peut être résolue d'une manière analogue. Ce processus s'appelle la substitution de dos de .

Voir également

élimination gaussienne
Décomposition du QR
Matrice de Hessenberg de
Matrice de Tridiagonal
Sous-espace invariable

.

Random links:

Histoire de Gdańsk (Danzig) | Frou Frou | J-Chariot | ęr Troupe de gardes de cheval | Matriz_triangular

© 2007-2009 encyclopediefrancaise.com; le texte de cet article est distribué sous les termes de GFDL; en.wikipedia.org