Matrice orthogonale

Dans la théorie des matrices De , une matrice orthogonale de vrai du est un Q de la matrice carrée dont le transposent est son inverse : $Q^T de Q = Q Q^T = I. \, \ !$

Une matrice orthogonale est une matrice orthogonale spéciale si elle a le déterminant +1 : $\ det de Q = +1. \, \ !$

Vue d'ensemble

Une matrice orthogonale est la vraie spécialisation d'une matrice unitaire , et ainsi toujours d'une matrice normale . Bien que nous considérions seulement de vraies matrices ici, la définition peut être employée pour des matrices avec des entrées de n'importe quel champ . Cependant, les matrices orthogonales résultent naturellement des produits intérieurs, et pour des matrices des nombres complexes cela mène à la place à la condition unitaire.

Pour voir le raccordement de produit intérieur, considérer un de vecteur v dans un n - le vrai espace dimensionnel de produit intérieur de . Écrit en ce qui concerne une base orthonormale, la longueur carrée du v est le v du v ^T. Si une transformation linéaire, dans le v du Q de forme de matrice, préserve des longueurs de vecteur, puis ^T de $de {\ v "BOLD"} {\ v "BOLD"} = (Q {\ v "BOLD"}) ^T (Q {\ v "BOLD"}) = {\ v "BOLD"} ^T Q^T Q {\ v "BOLD"}.$

Ainsi isometries linéaires fini-dimensionnels du - les rotations, réflexions, et leur combinaison-produisent les matrices orthogonales. L'inverse est également vraie : les matrices orthogonales impliquent des transformations orthogonales. Cependant, l'algèbre linéaire inclut les transformations orthogonales entre les espaces qui ne peuvent être ni fini-dimensionnels ni de la même dimension, et ceux-ci n'ont aucun équivalent de matrice orthogonale.

Les matrices orthogonales sont importantes pour un certain nombre de raisons, théoriques et pratiques. Les matrices orthogonales du n de × du n constituent un groupe , le groupe orthogonal de dénoté par le O ( n ), qui-avec le son sous-groupe-est employée couramment dans les mathématiques et les sciences physiques. Par exemple, le groupe de point de d'une molécule est un sous-groupe du O (3). Puisque les versions de virgule flottante des matrices orthogonales ont les propriétés avantageuses, elles sont principales à beaucoup d'algorithmes dans l'algèbre linéaire numérique, tel que la décomposition du QR. En tant qu'autre exemple, avec la normalisation appropriée le le cosinus que discret transforment (utilisé dans la compression de MP3 ) est représenté par une matrice orthogonale.

Exemples

Au-dessous de sont quelques exemples de petites matrices orthogonales et d'interprétations possibles.

\ commencer {le bmatrix} 1 et 0 \ \ 0 et 1 \ \ \ extrémité {} de bmatrix \ qquad (\ texte {transformation d'identité})

\ commencer {le bmatrix} 0.96 \ \ \ extrémité {} de bmatrix \ qquad (\ texte {rotation près} 16.26^ {\ circ})

\ commencer {le bmatrix} 1 et 0 \ \ 0 et -1 \ \ \ extrémité {} de bmatrix \ qquad (\ texte {réflexion à travers} x \ texte {- axe})

\ commencer {le bmatrix} 0 et -0.64 \ extrémité {} de bmatrix \ qquad \ est parti (\ commencer {aligner} et \ texte {le rotoinversion :} \ \ et \ texte {axe} (0, - 3/5,4/5), \ texte {angle} 90^ {\} de circ \ extrémité {aligner} \ droit)

\ commencer {le bmatrix} 0 et 0 et 0 et 1 \ \ 0 et 0 et 1 et 0 \ \ 1 et 0 et 0 et 0 \ \ 0 et 1 et 0 et 0 \ extrémité {} de bmatrix \ qquad (\ texte {permutation des haches})

Constructions élémentaires

Abaisser les dimensions

Les matrices orthogonales les plus simples sont les matrices 1×1 et que nous pouvons interpréter comme identité et réflexion de la vraie ligne à travers l'origine.

Les matrices 2×2 ont la forme le $de \ commencent {bmatrix} \ de P&T \ q et u \ extrémité {bmatrix},$

quelle orthogonalité exige satisfaire les trois équations

Des dimensions plus élevées

Indépendamment de la dimension, il est toujours possible de classifier les matrices orthogonales comme purement de rotation ou pas, mais pour les matrices 3×3 et plus grand les matrices non-de rotation peuvent être plus compliquées que des réflexions. Par exemple,

$\ commencer {le bmatrix} -1 et 0 et 0 \ \ 0 et -1 et 0 \ \ 0 et 0 et -1 \ extrémité {bmatrix}$ et $\ commencer {le bmatrix} 0 et -1 et 0 \ \ 1 et 0 et 0 \ \ 0 et 0 et -1 \ extrémité {bmatrix}$

représenter une inversion de par l'origine et un rotoinversion de autour de l'axe du z .

Les rotations deviennent également plus compliquées ; elles peuvent plus n'être complètement caractérisées par un angle, et peuvent affecter plus d'un sous-espace planaire. Tandis qu'il est commun pour décrire une matrice de la rotation 3×3 en termes d'axe et angle, l'existence d'un axe est une propriété accidentelle de cette dimension qui s'applique dans aucun autre.

Cependant, nous avons les blocs constitutifs élémentaires pour des permutations, des réflexions, et des rotations qui s'appliquent en général.

Primitifs

La permutation la plus élémentaire est une transposition, obtenue à partir de la matrice d'identité en échangeant deux rangées. N'importe quelle matrice de permutation du n de × du n peut être construite comme produit tout au plus des transpositions du n −1.

Une réflexion de chef de ménage de est construite d'un non nul v de vecteur As $Q de = I - 2 ^T "BOLD" de v} {\ v "BOLD"} \ au-dessus {\ v "BOLD"} de ^T {\ de v "BOLD" .$

Ici le numérateur est une matrice symétrique tandis que le dénominateur est un nombre, l'importance carrée de v . C'est une réflexion dans la perpendiculaire d'hyperplan au v (niant tout composant de vecteur parallèle à v ). Si le v est un vecteur d'unité, puis du Q ; = le vv ^T du I −2 suffit. Une réflexion de chef de ménage est typiquement employée à simultanément mettent la partie plus inférieure d'une colonne. N'importe quelle matrice orthogonale du n de × du n de taille peut être construite comme produit tout au plus du n de telles réflexions.

Actes de la rotation un de Givens de sur un sous-espace (planaire) bidimensionnel enjambé par deux haches du même rang, tournant par un angle choisi. Il est typiquement employé à zéro une entrée simple de subdiagonal. N'importe quelle matrice de rotation du n de × du n de taille peut être construite comme produit tout au plus du n ( n −1)/2 de telles rotations. Dans le cas des matrices 3x3, trois telles rotations suffisent ; et en fixant l'ordre nous pouvons décrire ainsi toutes les matrices de la rotation 3×3 (cependant pas uniquement) en termes de trois angles utilisés, souvent appelé les angles d'Euler de .

Une rotation de Jacobi de a la même forme qu'une rotation de Givens, mais est employée comme transformation de similitude de choisie à zéro les deux entrées au loin-diagonales d'un submatrix 2×2 symétrique.

Propriétés

Propriétés de Matrix

Une vraie matrice carrée est orthogonale si et seulement si ses colonnes forment une base orthonormale du n de ^{du R de l'espace euclidien avec le produit scalaire euclidien ordinaire , qui est le cas si et seulement si ses rangées forment une base orthonormale du n} de ^{du R . Elle pourrait être tempting pour supposer qu'une matrice avec les colonnes (non orthonormales) orthogonales s'appellerait une matrice orthogonale, mais de telles matrices n'ont aucun intérêt spécial et aucun nom spécial ; ils satisfont seulement le du M du M ^T ; = D , avec le D une matrice diagonale . Le déterminant de n'importe quelle matrice orthogonale est +1 ou −1. Ceci suit des faits de base sur des causes déterminantes, comme suit :
$1= \ det = (d'I)= \ det (Q^TQ) \ det (Q^T) \ det (Q)= (\ det (Q)) ^2 \, \ ! .$
L'inverse n'est pas vraie ; avoir une cause déterminante de +1 n'est aucune garantie d'orthogonalité, même avec les colonnes orthogonales, comme montré par le contre-exemple suivant. le $de \ commencent {bmatrix} 2 et 0 \ \ 0 et \ frac {1} {2} \ extrémité {bmatrix}$
Avec des matrices de permutation la cause déterminante assortit la signature , étant +1 ou −1 car la parité de la permutation est égale ou impaire, pour la cause déterminante est une fonction alternative des rangées.
Plus fort que la restriction déterminante est le fait qu'une matrice orthogonale peut toujours être diagonalized par au-dessus des nombres complexes pour exhiber un ensemble complet des valeurs propres , qui doivent avoir la valeur absolue 1.

Propriétés de groupe
L'inverse de chaque matrice orthogonale est encore orthogonal, de même que le produit de matrice de deux matrices orthogonales. En fait, l'ensemble de tous les × du n ; les matrices orthogonales du n satisfait tous les axiomes d'un groupe . C'est un groupe de Lie de du contrat de n ( n −1)/2 de dimension, appelé le le groupe orthogonal et dénoté par O ( n ). Orthogonal matrice dont la cause déterminante est la forme +1 par chemin-s'est relié normal sous-groupe de O ( n ) de l'index 2, spécial orthogonal groupe AINSI ( n ) de rotation quotient groupe O ) (de n / AINSI ( n ) est isomorphe au O (1), avec la carte de projection le choix ou selon la cause déterminante. Les matrices orthogonales avec −1 déterminant n'incluent pas l'identité, et ainsi ne forment pas un sous-groupe mais seulement un Coset ; il également (séparément) est relié. Ainsi chaque groupe orthogonal tombe dans deux morceaux ; et parce que le de carte de projection dédouble , le O ( n ) est un produit semidirect du AINSI ( n ) par le O (1). En pratique, un rapport comparable est que n'importe quelle matrice orthogonale peut être produite en prenant une matrice de rotation et en niant probablement une de ses colonnes, comme nous avons vu avec les matrices 2×2. Si le n est impair, alors le produit semidirect est en fait un produit direct , et n'importe quelle matrice orthogonale peut être produite en prenant une matrice de rotation et en niant probablement toutes ses colonnes. Ceci suit de la propriété des causes déterminantes que la négation d'une colonne nie la cause déterminante, et de ce fait la négation (mais pas même) d'un nombre impair de colonnes nie la cause déterminante.
Considérer maintenant ( n +1)× (matrices orthogonales de n +1) avec l'entrée de droite inférieure égale à 1. Le reste de la dernière colonne (et de la dernière rangée) doit être les zéros, et le produit de deux telles matrices quelconques a la même forme. Le reste de la matrice est une matrice orthogonale du n de × du n ; ainsi le O ( n ) est un sous-groupe du O ( n +1) (et de tous les groupes plus élevés). le $de \ commencent {bmatrix} et et et 0 \ \ Et O (n) et et \ \ de vdots \ et et et 0 \ \ 0 et \ cdots et 0 et 1 \ extrémité {bmatrix}$
Puisqu'une réflexion élémentaire sous forme de matrice de chef de ménage peut ramener n'importe quelle matrice orthogonale à cette forme contrainte, une série de telles réflexions peut apporter n'importe quelle matrice orthogonale à l'identité ; ainsi un groupe orthogonal est un groupe de réflexion . La dernière colonne peut être fixée à n'importe quel vecteur d'unité, et chaque choix donne une copie différente du O ( n ) dans le O ( n +1) ; de cette façon O (le n +1) est un paquet au-dessus du n de ^{du S de sphère d'unité avec le O ( n ) de fibre.}
De même, le AINSI le ( n ) est un sous-groupe du AINSI ( n +1) ; et n'importe quelle matrice orthogonale spéciale peut être produite par des rotations plates de Givens suivant un procédé analogue. La structure de paquet persiste : Du AINSI ( n de ↪ AINSI ( n ) de ^{de S de → de n +1). Une rotation simple peut produire un zéro dans la première rangée de la dernière colonne, et la série de rotations du n −1 mettra tout sauf la dernière rangée de la dernière colonne d'une matrice de rotation du n de × du n . Puisque les avions sont fixes, chaque rotation a seulement un degré de liberté, son angle. Par induction, le AINSI le ( n ) a donc $de (n-1) + (N2) + \ cdots + 1 = n (n-1) /2$}
les degrés de liberté, et fait ainsi le O ( n ).
Les matrices de permutation sont toujours plus simples ; elles forment, pas un groupe de Lie, mais seulement un groupe fini, le n d'ordre ! symétrique n de _{du S du groupe . Par le même genre d'argument, le n} de _{du S est un sous-groupe du n +1} de _{du S . Même les permutations produisent le sous-groupe de matrices de permutation de la cause déterminante +1, le n d'ordre ! /2 groupe alternatif .}

Forme canonique
Plus largement, l'effet de n'importe quelle matrice orthogonale sépare dans des actions indépendantes sur des sous-espaces bidimensionnels orthogonaux. C'est-à-dire, si le Q est orthogonal spécial puis on peut toujours trouver un P , changement (de rotation) de matrice orthogonale d'a de la base, qui introduit le Q dans la forme diagonale de bloc : le $P^ de {T} QP = \ commencent {bmatrix} R_1 et et \ \ et \ ddots et \ \ et et R_k \ extrémité {bmatrix}$ ( n même), le $P^ {T} QP = \ commencent {le bmatrix} R_1 et et et \ \ et \ ddots et et \ \ et et R_k et \ \ et et et 1 \ extrémité {bmatrix}$ ( n impair). là où le R ₁ de matrices,…, le k de _{du R sont des matrices de la rotation 2×2, et avec les entrées restantes zéro. Exceptionnellement, un bloc de rotation peut être diagonal, le I de ±. Ainsi, niant une colonne au besoin, et notant qu'une réflexion 2×2 diagonalizes à des +1 et à un −1, n'importe quelle matrice orthogonale peut être apportée à la forme le $P^ de {T} QP = \ commencent {bmatrix} \ commencer {matrice} R_1 et et \ \ et \ ddots et \ \ et et R_k \ extrémité {matrice} et 0 \ \ 0 et \ commence {} de matrice \ P. 1 et et \ \ et \ ddots et \ \ et \ et \ P. 1 \ extrémité {matrice} \ \ extrémité {bmatrix}$ ,}
Le R ₁ de matrices,…, le k de _{du R donnent des paires conjuguées de valeurs propres se trouvant sur le cercle d'unité dans le plan complexe ; ainsi cette décomposition confirme que toutes les valeurs propres ont la valeur absolue 1. Si le n est impair, il y a au moins une vraie valeur propre, +1 ou −1 ; pour une rotation 3×3, le vecteur propre lié à +1 est l'axe de rotation.}

Algèbre de Lie
Supposer que les entrées du Q sont les fonctions différentiables du t , et ce du t ; = 0 donne le du Q ; = I . Différenciation de l'état d'orthogonalité $Q^T DE DE$ DE Q = I \, \ ! rendements $de \ ^T du point {Q} Q + Q^T \ point {Q} = 0$
Évaluation au du t ; = 0 ( de Q ; = le I ) implique alors $de \ ^T du point {Q} = - \ point {Q}.$
En termes de groupe de Lie, ceci signifie que l'algèbre de Lie d'un groupe de matrice orthogonale se compose des matrices biaiser-symétriques . Allant l'autre direction, le Matrix exponentiel de n'importe quelle matrice biaiser-symétrique est une matrice orthogonale (en fait, orthogonal spécial).
Par exemple, la vitesse angulaire d'objet de physique de tridimensionnel d'appels est une rotation différentielle, ainsi un vecteur dans le $d'algèbre de Lie \ tangente du mathfrak {ainsi} (3)$ au AINSI (3). donné du ω ; = (θ de X , θ de y , θ de z ), avec le du v ; = ( X , y , z ) un vecteur d'unité, la forme biaiser-symétrique correcte de matrice du ω est

$et de y \ thêta \ z \ thêta et 0 et - \ de x \ thêta \ - y \ thêta et x \ thêta et 0 \ extrémité {bmatrix}.$
L'exponentiel de ceci est la matrice orthogonale pour la rotation autour du v d'axe par le θ d'angle ; du c d'arrangement ; = cos ; θ/2, du s ; = sin ; θ/2,

$\ exp (\ Omega) = \ commencer {le bmatrix} 1 - 2s^2 + 2x^2 s^2 et 2xy s^2 - Sc 2z et 2xz \ de Sc s^2 + 2y \ 2xy Sc s^2 + 2z et 1 - 2s^2 + 2y^2 s^2 et 2yz s^2 - \ de Sc 2x \ 2xz s^2 - Sc 2y et 2yz Sc s^2 + 2x et 1 - 2s^2 + 2z^2 s^2 \ extrémité {bmatrix} .$

Algèbre linéaire numérique
Avantages
L'analyse numérique tire profit de plusieurs des propriétés des matrices orthogonales pour l'algèbre linéaire numérique, et elles surgissent naturellement. Par exemple, il est souvent souhaitable de calculer une base orthonormale pour un espace, ou un changement orthogonal des bases ; tous les deux prennent la forme de matrices orthogonales. Avoir ±1 déterminant et tous valeurs propres de la grandeur 1 est de grand avantage pour la stabilité numérique . Une implication est que le nombre d'état de est 1 (qui est le minimum), ainsi des erreurs ne sont pas magnifiées en se multipliant avec une matrice orthogonale. Beaucoup d'algorithmes emploient les matrices orthogonales comme les réflexions de chef de ménage de et les rotations de Givens de pour cette raison. Il est également utile que, soit non seulement une matrice orthogonale inversible, mais son inverse est essentiellement libre disponible, en échangeant des index. Les permutations sont essentielles au succès de beaucoup d'algorithmes, y compris l'élimination gaussienne de cheval de labour avec le de pivotement partiel (où les permutations font le pivotement). Cependant, elles apparaissent rarement explicitement comme matrices ; leur formulaire spécial permet une représentation plus efficace, telle qu'une liste d'index du n .
De même, les algorithmes utilisation using de chef de ménage et de Givens matrices typiquement ont spécialisé des méthodes de multiplication et de stockage. Par exemple, une rotation de Givens affecte seulement deux rangées d'une matrice qu'elle multiplie, changeant une pleine multiplication du n ³ d'ordre en beaucoup plus efficace n d'ordre. Quand les utilisations de ces réflexions et rotations présentent des zéros dedans une matrice, l'espace évacué est assez pour stocker des données suffisantes pour reproduire la transformation, et pour faire tellement robuste. (Après Stewart (1976), nous faisons le magasin du pas un angle de rotation, qui est cher et mal comporté.)

Décompositions
Un certain nombre de décompositions importantes (& de Matrix de de Golub ; Van Loan, 1996) impliquent les matrices orthogonales, incluant particulièrement : ; Décomposition du QR : du M ; = QR , Q orthogonal,
triangulaire supérieur du R ; Décomposition de valeur singulière de : du M ; = UΣV ^T, U et V orthogonal,
diagonal non négatif du Σ ; Décomposition spectrale : du S ; = Q&Lambda ; Q ^T, S symétrique, Q orthogonal, &Lambda de ; diagonale de .
; Décomposition polaire : du M ; = QS , Q orthogonal, S défini non négatif symétrique

Exemples
Considérer un système d'Overdetermined de des équations linéaires , comme la force se produisent avec des mesures répétées d'un phénomène physique pour compenser des erreurs expérimentales. Écrire le du A de x de ; = b , où le A est le n de × du m , du m ; > ; n . Une décomposition de QR ramène le A au triangulaire supérieur R . Par exemple, si le A est 5×3 puis le R a la forme le $R de = \ commencent {bmatrix} \ et d'étoile \ étoile et \ \ d'étoile \ 0 et \ étoile et \ \ d'étoile \ 0 et 0 et \ \ d'étoile \ 0 et 0 et 0 \ \ 0 et 0 et 0 \ extrémité {bmatrix}$ Le problème des moindres carrés linéaire du est de trouver le X qui réduit au minimum le du A de ‖ le ‖ du b de − de x de , qui est équivalent à projeter le b au sous-espace enjambé par les colonnes du A . (Penser à un vol de pigeon au-dessus d'un parking avec les frais généraux droits du soleil ; son ombre frappe le point le plus proche au sol.) En assumant les colonnes du A (et par conséquent du R ) être indépendant, la solution de projection est trouvé du du A du A ^T de x de ; = b du A ^T. Maintenant le A du A ^T est à angle droit ( n de × de n ) et inversible, et également égale au R du R ^T. Mais les rangées inférieures du R de zéros dedans sont superflues dans le produit, qui est ainsi déjà sous la forme factorisée supérieur-triangulaire bas-triangulaire, comme dans l'élimination gaussienne (décomposition de Cholesky de ). Ici l'orthogonalité est importante non seulement pour réduire le du A du A ^T ; = ( Q ^T de R ^T) du QR au R ^T R , mais également pour permettre la solution sans magnifier des problèmes numériques.
Dans le cas d'un système linéaire qui underdetermined, ou d'une matrice inversible autrement non-, la décomposition de valeur singulière (SVD) est également utile. Le A étant factorisé comme UΣV ^T, une solution satisfaisante emploie le Pseudoinverse , le U ^T de Moore-Penrose du VΣ ⁺, où le Σ ⁺ remplace simplement chaque entrée diagonale différente de zéro par son réciproque. Placer le X au b du U ^T du VΣ ⁺.
Le cas d'une matrice inversible carrée tient également l'intérêt. Supposer, par exemple, que le A est une matrice de la rotation 3×3 qui a été calculée comme composition de nombreux torsions et tours. La virgule flottante n'assortit pas l'idéal mathématique de vrais nombres, ainsi le A a graduellement perdu son orthogonalité vraie. Un Gramme-Schmidt de processus pourrait orthogonalize les colonnes, mais ce n'est pas la méthode la plus fiable, ni la plus efficace, ni la plus invariable. La décomposition polaire factorise une matrice dans des paires, celle dont est la matrice orthogonale la plus étroite du unique à la matrice donnée, ou celle du plus étroit si la matrice donnée est singulière. (La proximité peut être mesurée par n'importe quelle norme de Matrix de invariable sous un changement orthogonal de base, telle que la norme spectrale ou la norme de Frobenius.) Pour une matrice proche-orthogonale, la convergence rapide au facteur orthogonal peut être réalisée par un " ; " de la méthode de Newton de ; approcher en raison de Higham (1986) (1990), faisant la moyenne à plusieurs reprises de la matrice avec son inverse transposent. Dubrulle (1994) a édité une méthode accélérée avec un essai de convergence commode.
Par exemple, considérer a (très !) matrice non-orthogonale pour laquelle l'algorithme de établissement d'une moyenne simple prend sept mesures le $de \ commencent {bmatrix} 3 et 1 \ \ 7 et 5 \ extrémité {bmatrix} \ rightarrow \ commencer {bmatrix} 1.6875 \ extrémité {le bmatrix} \ rightarrow \ cdots \ rightarrow \ commencer {bmatrix} 0.8 \ extrémité {bmatrix}$
et que l'accélération équilibre à deux étapes (avec le &gamma ; = 0. le $de \ commencent {bmatrix} 3 et 1 \ \ 7 et 5 \ extrémité {bmatrix} \ rightarrow \ commencer {bmatrix} 1.41421 \ extrémité {le bmatrix} \ rightarrow \ commencer {bmatrix} 0.8 \ extrémité {bmatrix}$
Gramme-Schmidt rapporte une solution inférieure, montrée par une distance de Frobenius de 8. le $de \ commencent {bmatrix} 3 et 1 \ \ 7 et 5 \ extrémité {bmatrix} \ rightarrow \ commencer {bmatrix} 0.393919 \ extrémité {bmatrix}$

Randomisation
Quelques applications numériques, telles que les méthodes de Monte Carlo de et l'exploration des espaces de données haut-dimensionnels, exigent la génération des matrices orthogonales aléatoires uniformément distribuées du . Dans ce contexte, " ; uniform" ; est défini en termes de mesure de Haar de , qui exige essentiellement que le changement de distribution pas si multiplié par n'importe quelle matrice orthogonale librement choisie. Cela ne fonctionne pas pour remplir matrice d'entrées aléatoires uniformément distribuées indépendantes du et puis pour orthogonalize la. Il effectue le travail de pour le remplir d'entrées aléatoires normalement distribuées indépendantes du , puis emploie la décomposition de QR. Stewart (1980) a remplacé ceci par une idée plus efficace ce & de Diaconis ; Shahshahani (1987) plus tard a généralisé comme " ; algorithm" de sous-groupe ; (sous quelle forme cela fonctionne aussi bien pour des permutations et des rotations). Pour produire de l'( n +1)× (matrice orthogonale de n +1), prendre un n un de × de n et un vecteur d'unité uniformément distribué de construction de n +1. de dimension une réflexion de chef de ménage du vecteur, pour s'appliquer alors l'à la matrice plus petite (incluse dans la taille plus grande avec un 1 dans le coin inférieur).
Rotation et Pin
Un problème technique subtile afflige quelques utilisations des matrices orthogonales. Sont non seulement les composants de groupe avec la cause déterminante +1 et le &minus ; 1 non relié entre eux, même +1 le composant, AINSI ( n ), n'est pas le simplement relié (excepté AINSI (1), qui est insignifiant). Ainsi il est parfois avantageux, ou même nécessaire, pour fonctionner avec un groupe de bâche de AINSI de ( n ), le groupe , rotation ( n ) de rotation de . De même, le O ( n ) a des groupes de bâche, le Pin de groupe Pin de ( n ). Pour le du n ; > ; 2, rotation ( n ) est simplement reliés, et ainsi le groupe universel de bâche pour le AINSI ( n ). De loin l'exemple le plus célèbre d'un groupe de rotation est la rotation (3), souvent vu sous forme de Quaternions d'unité ou de matrices de rotation de Pauli . Singulièrement de mode d'Ouroboros , les groupes de Pin et de rotation sont trouvés dans les algèbres de Clifford de qu'elles-mêmes peut être établi des matrices orthogonales.

Matrices rectangulaires
Si le Q est une matrice rectangulaire, puis le du Q du Q ^T de conditions ; = I et QQ ^T ; = le I ne sont pas équivalent. Le du Q du Q ^T de condition ; = le I indique que les colonnes du Q sont orthonormales. Ceci peut seulement se produire si le Q est une matrice du n de × du m avec le du n ; &le ; ; m . De même, QQ ^T ; = le I indique que les rangées du Q sont orthonormales, qui exige le du n ; &ge ; ; m . Il n'y a aucune terminologie standard pour ces matrices. Elles s'appellent parfois le " ; matrices" orthonormal ; , parfois " ; matrices" orthogonal ; , et parfois simplement " ; matrices avec des rangées orthonormales/columns" ;.

Voir également matrice Biaiser-symétrique du groupe de de

de de de coordonnée de la rotation
de de de la matrice unitaire
de de de la matrice
de Symplectic orthogonal de .
Random links: Sylvia, le Kansas | Molécule de signalisation | Action du 31 mai 1677 | Jodi Ann Paterson | Matriz_ortogonal}