Matrice de bande

Dans les mathématiques , en particulier la théorie des matrices De , une matrice de bande de est une matrice à faible densité , dont les entrées différentes de zéro sont confinées à une bande diagonale de , comportant le diagonal principal et zéro ou plus de diagonales de chaque côté.

Formellement, × du n un ; le A de matrice du n = ( un i, j de _{de ) est une matrice de bande de si tous les éléments de matrice sont zéro en dehors d'une bande diagonalement encadrée dont la gamme est déterminée par le k ₁ de constantes et le k ₂ :}

$a_ {I, j} =0 \ quadruple \ mbox {si} \ quadruple j i+k_2 ; \ quadruple k_1, k_2 \ GE 0. \,$

Le k ₁ de quantités et le k ₂ sont le laissé et bonne moitié-largeur de bande de du , respectivement. La largeur de bande la matrice est le k ₁ ; + ; k ₂ ; + ; 1 (en d'autres termes, le plus petit nombre de diagonales adjacentes auxquelles les éléments différents de zéro sont confinés).

Une matrice de bande avec le k ₁ = k ₂ = 0 est une matrice diagonale ; une matrice de bande avec le k ₁ = k ₂ = 1 est une matrice de Tridiagonal ; quand le k ₁ = k ₂ = 2 un a une matrice de Pentadiagonal de et ainsi de suite. Si on met le k ₁ = 0, le k ₂ = &minus du n ; 1, un obtient la définition d'une matrice triangulaire inférieur ; pareillement, pour le k ₁ = &minus du n ; 1, le k ₂ = 0 un obtient une matrice triangulaire supérieure.

Applications

Dans l'analyse numérique , des matrices de l'élément fini ou les problèmes de la différence finie sont souvent réunis. De telles matrices peuvent être regardées comme des descriptions de l'accouplement entre les variables de problème ; le bandedness correspond au fait que des variables ne sont pas couplées au-dessus des distances arbitrairement grandes. De telles matrices peuvent être encore divisées - par exemple, les matrices réunies existent où chaque élément dans la bande est différent de zéro. Celles-ci surgissent souvent en discrétisant des problèmes unidimensionnels.

Les problèmes dans des dimensions plus élevées mènent également aux matrices réunies, dans ce cas la bande elle-même tend également à être clairsemée. Par exemple, une équation différentielle partielle sur un domaine carré (using des différences centrales) rapportera une matrice avec une moitié-largeur de bande égale à la racine carrée de la dimension de matrice, mais à l'intérieur de la bande seulement que 5 diagonales sont différentes de zéro. Malheureusement, l'application de l'élimination gaussienne (ou d'une manière equivalente d'une décomposition de LU de ) à une telle matrice a comme conséquence la bande complété par beaucoup d'éléments différents de zéro. Car les matrices à faible densité se prêtent à un calcul plus efficace que les matrices denses, il y a eu beaucoup de recherche concentrée sur trouver des moyens de réduire au minimum la largeur de bande (ou réduire au minimum directement la suffisance dedans) en s'appliquant des permutations à la matrice, ou d'autres telles transformations d'équivalence ou de similitude.

D'un point de vue informatique, le travail avec des matrices de bande est toujours préférentiel au travail avec les matrices carrées denses pareillement dimensionnées du . Une matrice de bande peut être comparée dans la complexité à une matrice rectangulaire dont la dimension de rangée est égale à la largeur de bande de la matrice de bande. Ainsi le travail impliqué en effectuant des opérations telles que la multiplication tombe de manière significative, souvent menant à l'épargne énorme en termes de temps et complexité de calcul de .

Stockage de bande

Des matrices de bande sont habituellement stockées en stockant les diagonales dans la bande ; le repos est implicitement zéro.

Par exemple, une matrice de Tridiagonal a la largeur de bande 3. Le $ncer {le bmatrix} B_ {11} et B_ {12} et 0 et \ cdots et \ cdots et 0 \ \ B_ {21} et B_ {22} et B_ {23} et \ ddots et \ ddots et \ \ de vdots \ 0 et B_ {32} et B_ {33} et B_ {34} et \ ddots et \ \ de vdots \ \ vdots et \ ddots et B_ {43} et B_ {44} et B_ {45} et 0 \ \ \ vdots et \ ddots et \ ddots et \ de B_ {54} et de B_ {55} et de B_ {56} \ 0 et \ cdots et \ cdots et 0 et B_ {65} et B_ {66} \ extrémité {bmatrix}$ est stocké comme $de de la matrice 6 by-3 \ commencer {le bmatrix} 0 et \ de B_ {11} et de B_ {12} \ 23} \ de B_ {21} et de B_ {22} et de B_ {\ 34} \ de B_ {32} et de B_ {33} et de B_ {\ 45} \ de B_ {43} et de B_ {44} et de B_ {\ 56} \ de B_ {54} et de B_ {55} et de B_ {\ B_ {65} et B_ {66} et 0 \ extrémité {bmatrix}$

Une autre économie est possible quand la matrice est symétrique. Par exemple, considérer une matrice 6 by-6 symétrique avec une bonne largeur de bande de 2 :

$\ commencer {le bmatrix} A_ {11} et A_ {12} et A_ {13} et 0 et \ cdots et 0 \ \ Et A_ {22} et A_ {23} et A_ {24} et \ ddots et \ \ de vdots \ et et A_ {33} et A_ {34} et A_ {35} et 0 \ \ et et et \ d'A_ {44} et d'A_ {45} et d'A_ {46} \ et sym et et et \ d'A_ {55} et d'A_ {56} \ et et et et et A_ {66} \ extrémité {bmatrix}$ Cette matrice est stockée comme matrice 6 by-3 :

$\ commencer {le bmatrix} 13} \ d'A_ {11} et d'A_ {12} et d'A_ {\ 24} \ d'A_ {22} et d'A_ {23} et d'A_ {\ 35} \ d'A_ {33} et d'A_ {34} et d'A_ {\ 46} \ d'A_ {44} et d'A_ {45} et d'A_ {\ A_ {55} et A_ {56} et 0 \ \ A_ {66} et 0 et 0 \ extrémité {bmatrix}$

Exemples et cas spéciaux

Ce qui suit sont les caisses spéciales de matrices de bande :
Matrices diagonales .
Matrices de Tridiagonal .
Matrices de Pentadiagonal de .
Matrices triangulaires supérieur et inférieur.
Matrices supérieures et inférieures de Hessenberg de .
matrices Bloquer-diagonales .
Matrices de décalage de et matrices de cisaillement de .
Matrices sous la forme normale de la Jordanie de .
Une matrice d'horizon de est une manière plus compacte de stocker une matrice réunie.

Les inverses des matrices de Lehmer de sont les matrices de tridiagonal constantes, et sont ainsi des matrices de bande.

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