Matrice de DFT

Une matrice du DFT est une expression d'une transformée de Fourier discrète (DFT) de de comme multiplication de matrice.

Définition

Un N - le point DFT est exprimé comme N - par la multiplication de matrice du N comme

X = W x

, où

x

est le signal d'entrée original, et

X

est le DFT du signal.

La matrice W du nxn de taille, peut être décrite comme matrice de Vandermonde de : $W=V (w)$ où W est un vecteur avec la coordonnée de Th du i est = de w_i de $\ omega_n^i$ , la nième racine de de l'unité .

Les algorithmes de la transformée de Fourier rapide utilisent les symétries de la matrice pour réduire la période de multiplier un vecteur par cette matrice, du $O habituel (N^2)$ . Les techniques semblables peuvent être appliquées pour des multiplications par des matrices telles que la matrice de Hadamard de et la matrice de Walsh de .

Cas spéciaux

Le DFT à trois points a une signification spéciale, par exemple pendant que les composants symétriques transforment (SCT) le article de s 1918 de Fortescue Legeyt Charles de le ', qui définit l'équilibre triphasé, c. les coupures 3-DFT un signal vers le haut dans un composant de C.C, aussi bien que deux composants à C., on allant dans le sens des aiguilles d'une montre, et l'autre compteur allant dans le sens des aiguilles d'une montre.

Exemples

Deux-point

Le deux-point DFT est un cas simple, dans lequel la première entrée est le C.C (somme) et la deuxième entrée est le C.

$\ commencer {le bmatrix} 1 et 1 \ \ /de 1 et de -1 \ extrémité {bmatrix} \ racine carrée {2}$

La première rangée exécute la somme, et la deuxième rangée effectue la différence.

Le facteur de $1/\ de racine carrée {2}$ est de rendre la transformation unitaire (voir ci-dessous).

Quatre-point

La matrice du quatre-point DFT est comme suit :

\ frac {1} {2} \ commencer {le bmatrix} 1 et 1 et 1 et 1 \ \ 1 &-i &-1 et \ d'I \ \ de 1 et de -1& 1 &-1 \ 1 et &-i d'I &-1 \ extrémité {bmatrix}

Huit-point

La première puissance non triviale de nombre entier du cas deux est pour 8 points :

W= \ frac {1} {\ racine carrée {8}} \ commencer {le bmatrix} \ omega^0 et \ omega^0 et \ omega^0 et \ \ de ldots et \ omega^0 \ \ omega^0 et \ omega^1 et \ omega^2 et \ \ de ldots et \ omega^7 \ \ omega^0 et \ omega^2 et \ omega^4 et \ ldots et \ \ d'omega^ {14} \ \ omega^0 et \ omega^3 et \ omega^6 et \ ldots et \ \ d'omega^ {21} \ \ omega^0 et \ omega^4 et \ omega^8 et \ ldots et \ \ d'omega^ {28} \ \ omega^0 et \ omega^5 et \ omega^ {10} et \ ldots et \ \ d'omega^ {35} \ \ vdots et et \ vdots et \ ddots et \ \ de vdots \ \ omega^0 et \ omega^7 et \ omega^ {14} et \ ldots et \ \ d'omega^ {49} \ \ extrémité {bmatrix}

là où $\ Omega = e^ de {- \ frac {2 \ pi i} {8}} = \ - de frac {1} {\ racine carrée {2}} \ frac {I} {\ racine carrée {2}}$

L'image suivante dépeint le DFT pendant qu'une matrice se multiplient, avec des éléments de la matrice représentée par des échantillons d'exponentials complexes :

La partie réelle (onde cosinusoïdale) est dénotée par une ligne continue, et la partie imaginaire par une ligne (pointillée) à tiret.

La rangée supérieure est toute la (mesuré par $1/\ racine carrée {8}$ pour l'unitarity), ainsi il " ; measures" ; le composant de C.C dans le signal d'entrée. La prochaine rangée est huit échantillons de cycle du négatif un d'un exponentiel complexe, c. un signal avec une fréquence partielle de -1/8, ainsi il " ; measures" ; combien de " ; strength" ; il y a à la fréquence partielle +1/8 dans le signal. Se rappeler qu'un filtre assorti par compare le signal à une version renversée par temps de celui que nous recherchions, ainsi quand nous recherchons le fracfreq. 1/8 que nous rivalisons avec le fracfreq. −1/8 de sorte que soit pourquoi cette rangée est une fréquence négative . La prochaine rangée est les deux cycles négatifs d'un exponentiel complexe, prélevés dans huit endroits, ainsi elle a une fréquence partielle de −1/4, et ainsi le " ; measures" ; le point auquel le signal a une fréquence partielle de +1/4.

Ce qui suit récapitule comment les travaux de 8 points DFT, rangée par rangée, en termes de fréquence partielle :
0 mesure combien C.C coûte dans le signal
−1/8 mesure quelle quantité de signal a une fréquence partielle de +1/8
−1/4 mesure quelle quantité de signal a une fréquence partielle de +1/4
−3/8 mesure quelle quantité de signal a une fréquence partielle de +3/8
−1/2 mesure quelle quantité de signal a une fréquence partielle de +1/2
−5/8 mesure quelle quantité de signal a une fréquence partielle de +5/8
−3/4 mesure quelle quantité de signal a une fréquence partielle de +3/4
−7/8 mesure quelle quantité de signal a une fréquence partielle de +7/8

D'une manière equivalente on peut dire que la dernière rangée a une fréquence partielle de +1/8 et mesurer ainsi quelle quantité de signal a une fréquence partielle de −1/8. de cette façon, il pourrait dire que les rangées supérieures du " de matrice ; measure" ; le contenu positif de fréquence dans le signal et les rangées inférieures mesure le composant négatif de fréquence dans le signal.

Généralisé

W= \ frac {1} {\ racine carrée {N}} \ commencer {le bmatrix} \ et de l'omega^ {0 \ cdot 0} \ omega^ {0 \ cdot 1} et \ et de ldots \ omega^ {0 \ cdot (n-1)}  \ \ \ et de l'omega^ {1 \ cdot 0} \ omega^ {1 \ cdot 1} et \ et de ldots \ omega^ {1 \ cdot (n-1)}  \ \ \ vdots et \ vdots et \ ddots et \ \ de vdots \ \ omega^ {(n-1) \ cdot 0} et \ omega^ {(n-1) \ cdot 1} et \ ldots et \ omega^ {(n-1) \ cdot (n-1)} \ \ \ extrémité {bmatrix}

là où le $\ Omega = l'e^ {- \ frac {2 \ pi i} {N}}$ est la première racine négative de Th du '' N '' de l'unité (c. la première racine de l'unité dans la direction de fréquence négative ).

La convention est d'aller dans une direction négative puisque le DFT est d'habitude considéré comme un filtre assorti, c. quand recherchant une fréquence de +1, on corrèle le signal entrant avec une fréquence de −1. Ainsi chaque rangée de la matrice est une exponentielle complexe prélevé de la fréquence négative , celui de mesure la force de signal positive correspondante de fréquence dans le signal sous l'analyse.

Noter que le facteur de normalisation devant la somme ( $1/\ racine carrée {N}$ ) et le signe de l'exposant sont simplement des conventions, et différer dans quelques traitements. Toute les discussion suivante s'applique indépendamment de la convention, avec tout au plus des ajustements mineurs. La seule chose importante est que le vers l'avant et l'inverse transforme ont des exposants d'opposé-signe, et que le produit de leurs facteurs de normalisation soit 1 N . Cependant, le $1/\ racine carrée {N}$ est preferred, puisqu'elle définit la transformation en tant qu'unitaire transforment, et la matrice en résultant de DFT est une matrice unitaire .

Unitaire transformer

Le DFT est (ou peut être, par le choix approprié de la graduation) un unitaire transforme, c. une qui préserve l'énergie. Le choix approprié du mesurage pour réaliser l'unitarity est

1/\ racine carrée {N}

, de sorte que l'énergie dans le domaine physique soit identique que l'énergie dans le domaine de Fourier, c. pour satisfaire le théorème de Parseval. (Autre, non unitaire, graduations, sont également utilisé généralement pour la convenance informatique ; par exemple le théorème de convolution de prend une forme légèrement plus simple avec la graduation montrée dans l'article discret de la transformée de Fourier .)

D'autres propriétés

Pour d'autres propriétés de la matrice de DFT, y compris ses valeurs propres, le raccordement aux convolutions, applications, et ainsi de suite, voient l'article discret de la transformée de Fourier .

Dans la limite : L'opérateur de Fourier

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