Matrice de Circulant

Dans l'algèbre linéaire , une matrice circulant est un genre spécial de matrice de Toeplitz de où chaque vecteur de rangée est tourné un élément vers la droite relativement au vecteur de rangée précédent. Dans l'analyse numérique les matrices circulant sont importantes parce qu'elles diagonalized par une transformée de Fourier discrète , et par conséquent des équations linéaires qui les contiennent peuvent être rapidement résolues using une transformée de Fourier rapide .

Définition

Un $n \ un matrice des périodes n \ C$ de la forme

$C= \ commencer {le bmatrix} et de c_0 et de c_ {n-1} \ pointille et le c_ {2} et \ de c_ {1} \ c_ {1} et c_0 et c_ {n-1} et et 2} \ de c_ {\ \ vdots et c_ {1} et c_0 et \ ddots et \ \ de vdots \ c_ {N2} et et \ ddots et \ ddots et \ du c_ {n-1} \ et du c_ {n-1} et du c_ {N2} \ pointille et le c_ {1} et c_0 \ \ \ extrémité {bmatrix}$

s'appelle une matrice circulant .

Une matrice circulant est entièrement spécifiée par un vecteur, le $\ c$ . Ceci apparaît dans la première colonne du $\ C$ . Les autres colonnes sont des rotations de lui. La dernière rangée du $\ C$ est le $\ c$ à l'envers l'ordre, et les autres rangées sont des rotations de lui.

Propriétés

Le réglé des matrices circulant de

n \ périodes n

forme un n - le dimensionnel L'espace de vecteur .

Les matrices de Circulant forment une algèbre commutative , puisque pour n'importe quels deux donnés le $circulant de matrices \ A$ et le $\ B$ , le $de somme \ A + B$ est circulant, le $de produit \ AB$ est circulant, et le $\ ab = BA$ .

Les vecteurs propres d'une matrice circulant de taille donnée sont les colonnes de la matrice discrète de la transformée de Fourier des mêmes tailles. En conséquence, les valeurs propres d'une matrice circulant peuvent être aisément calculées par une transformée de Fourier rapide (FFT) de .

Si un FFT de la première rangée d'une matrice circulant est exécuté alors le déterminant de la matrice circulant est la multiplication des valeurs spectrales.

$\ C = W \ lambda W^ {- 1}$ par eigendecomposition
$\ \ operatorname {det} (c) = \ operatorname {det} \ parti (W \ lambda W^ {- 1} \ droit)$
$\ \ = d'operatorname {det} (c) \ operatorname {det} \ est parti (\ lambda\ droit) = \ prod_ {k=1} ^ {} de n \ lambda_k$

là où
Le $\ C$ est une matrice circulant de $n \ périodes n$
Le $\ W$ est la matrice discrète de la transformée de Fourier unitaire
\ de $\ Lambda$ est une matrice diagonale avec \ de $de valeurs propres \ lambda_k$ .

Dernière période, $\ \ Pi_ {k=1} ^ {} de n \ lambda_k$ , est la même chose que la multiplication des valeurs spectrales.

Solution des équations linéaires avec les matrices circulant

Donné un $de d'équation de matrice \ \ = du mathbf {C} \ mathbf {x} \ mathbf {b}$

là où le $\ C$ est une matrice carrée circulant du $de taille \ n$ nous pouvons écrire l'équation comme convolution cyclique \ de $de \ mathbf {c} * \ = du mathbf {x} \ mathbf {b}$

là où le $\ c$ est la première colonne du $\ C$ , et le $de vecteurs \ c$ , le $\ x$ et le $\ b$ sont cycliquement prolongés dans chaque direction. Using les résultats du théorème circulaire de convolution de , nous pouvons employer la transformée de Fourier discrète pour transformer la convolution cyclique en multiplication composant-sage $de \ \ * mathcal du _ {F} {n} (\ mathbf {c} \ mathbf {x}) = \ _ {F} mathcal {n} (\ mathbf {c}) \ _ {F} mathcal {n} (\ mathbf {x}) = \ _ {F} mathcal {n} (\ mathbf {b})$

de sorte que \ de $de \ mathbf {x} = \ ^ mathcal du _ {F} {n} {- 1} \ est parti \ est parti ( \ frac {(\ _n {F} mathcal (\ mathbf {b}))_ {\ NU}} {(\ _n {F} mathcal (\ mathbf {c}))_ {\ NU}} \ bon) _ {\ NU \ dans \ mathbf {Z}} \ droit].$

Cet algorithme est beaucoup plus rapide que l'élimination gaussienne standard, particulièrement si une transformée de Fourier rapide est employée.

Application dans la théorie de graphique

Dans la théorie de graphique , un graphique ou le digraphe dont la matrice de contiguîté de est circulant s'appelle un graphique de Circulant de de (ou le digraphe). D'une manière equivalente, un graphique est circulant si son groupe d'automorphisme de contient un cycle intégral. Les échelles de Möbius de sont des exemples des graphiques circulant.

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