Matrice de Cartan

La troisième condition n'est pas indépendante mais est vraiment une conséquence des premières et quatrièmes conditions.

Nous pouvons toujours choisir un D avec les entrées diagonales positives. Dans ce cas, si $S$ dans la décomposition ci-dessus est le défini positif, alors $A$ serait une matrice de Cartan de .

La matrice de Cartan d'une algèbre de Lie simple est la matrice dont les éléments sont les produits scalaires

$a\_\; \{ij\}\; =\; \{2\; (r\_i,)\; de\; r\_j\; \backslash \; plus\; de\; (r\_i,\; r\_i)\}$

(parfois appelé les nombres entiers de Cartan de ) où $r\_i$ sont les racines simples de l'algèbre. Entrée sont intégral de un de propriété de racine premier condition suit de définition, seconde de fait qui pour $i\; \backslash \; quantité\; net\; de\; substance\; explosive\; j$, $r\_j-\; \{2\; (r\_i,)\; de\; r\_j\; \backslash \; plus\; de\; (r\_i,\; r\_i)\}r\_i$ est une racine qui est une combinaison linéaire des racines simples r_i et r_j de avec un coefficient positif pour r_i et ainsi, le coefficient pour r_i doit être non négatif. Le tiers est vrai parce que l'orthogonalité est une relation symétrique. Et pour finir, laisse $D\_\; \{ij\}\; =\; \{\backslash \; delta\_\; \{\}\; d\text{'}ij\; \backslash \; plus\; de\; (r\_i,\; r\_i)\}$ et $S\_\; \{ij\}\; =2\; (r\_i,\; r\_j)$. Puisque les racines simples enjambent un espace euclidien , S est défini positif.

Représentations des algèbres fini-dimensionnelles

Dans la théorie de représentation modulaire de , et plus généralement dans la théorie de représentations du Fini-dimensionnel A des algèbres qui sont Semisimple du pas , une matrice de Cartan de est définie en considérant a (fini) a placé des principaux modules indécomposables et inscription de la série de composition en pour eux en termes de modules projectifs rapportant une matrice des nombres entiers comptant le nombre d'occurrences d'un module projectif.

Matrices de Cartan dans la M-théorie

Dans la M-théorie , on peut considérer une géométrie avec les deux-cycles qui intersecte les uns avec les autres à un nombre fini de points, à la limite où les deux-cycles de secteur de l'aller à zéro. À cette limite, là apparaît un groupe local de symétrie de . On conjecture la matrice des nombres d'intersection de d'une base des deux-cycles pour être la matrice de Cartan de de l'algèbre de Lie de ce groupe local de symétrie de .

Ceci peut être expliqué comme suit. Dans la M-théorie on a le Solitons qui sont les surfaces bidimensionnelles appelées les membranes de ou le 2 branes . Un brane 2 a une tension et tend ainsi à se rétrécir, mais il peut enrouler autour des deux-cycles d'un qui l'empêche de se rétrécir à zéro.

On peut compactify la dimension de un qui est partagée par tous les deux-cycles et leurs points de intersection, et puis prendre la limite où cette dimension se rétrécit à zéro, de ce fait obtenant à un la réduction dimensionnelle au-dessus de cette dimension. Alors on obtient le type la théorie de corde de d'IIA comme limite de la M-théorie , avec 2 branes enveloppant des deux-cycles d'un que maintenant décrit par une corde ouverte étirée entre le D-branes il y a un U (1) groupe local de symétrie de pour chaque D-brane , ressemblant au degré de de liberté de le déplacer sans changer son orientation. La limite où les deux-cycles ont le secteur nul est la limite où ces le D-branes sont sur l'un l'autre, de sorte qu'on obtienne à un augmenté le groupe local de symétrie.

Maintenant, une corde ouverte étirée entre deux le D-branes représente un générateur de l'algèbre de Lie , et le collecteur de deux un tel générateur est un troisième, représenté par une corde ouverte lesquels obtient près collant ensemble les bords de deux cordes ouvertes. La dernière relation entre différentes cordes ouvertes est des depepnds sur le chemin 2 que les branes peuvent intersecter dans la M-théorie originale , c. dans les nombres d'intersection de de deux-cycles . Ainsi l'algèbre de Lie dépend entièrement de ces nombres d'intersection de que la relation précise à la matrice de Cartan est parce que ce dernier décrit les collecteurs des racines simples qui sont liées aux deux-cycles dans la base qui est choisie.

Noter que des générateurs dans le subalgebra de Cartan de sont représentés par les cordes ouvertes qui sont étirées entre un D-brane et lui-même.

Algèbres de Lie]]

Zh-classique : 嘉當矩陣 .