Matrice d\'incidence
Dans les mathématiques , une matrice d'incidence de est une matrice qui montre le rapport entre deux classes des objets. Si la première classe est le X et la seconde est le Y , la matrice a une rangée pour chaque élément du X et une colonne pour chaque élément du Y . L'entrée dans le X de rangée et le y de colonne est 1 si le X et le y sont connexes (appelé incident dans ce contexte) et 0 s'ils ne sont pas. Il y a des variations ; voir ci-dessous.
Théorie de graphique
Graphiques non dirigés et dirigés
Un G du graphique non dirigé a deux genres de matrice d'incidence : unoriented et orienté. La matrice d'incidence de (ou matrice d'incidence unoriented de ) du G est des × du p un ; , où le p et le q sont les nombres de sommets et de bords respectivement, tels que si le sommet et le bord sont incident et 0 autrement.
La matrice d'incidence de d'un a dirigé le D du graphique est des × du p un ; matrice où le p et le q sont le nombre de sommets et des bords respectivement, tels du q que si le bord part du sommet , s'il écrit le sommet et 0 autrement. (Beaucoup d'auteurs emploient la convention opposée de signe !)
Une matrice d'incidence orientée par d'un G de graphique non dirigé est la matrice d'incidence, dans le sens des graphiques dirigés, de n'importe quelle orientation du G . C'est-à-dire, dans la colonne du e de bord, il y a des +1 dans la rangée correspondant à un sommet du e et A-1 dans la rangée correspondant à l'autre sommet du e , et toutes autres rangées ont 0. Toutes les matrices d'incidence orientées du G diffèrent seulement en niant un certain ensemble de colonnes. Dans beaucoup d'utilisations, c'est une différence insignifiante, ainsi on peut parler du la matrice d'incidence orientée par , quoique ce soit techniquement incorrect.
La matrice d'incidence orientée ou unoriented d'un G de graphique est liée à la matrice de contiguîté de de son le L ( G ) du graphe linéaire par le théorème suivant :
là où est la matrice de contiguîté de graphe linéaire du G , le B ( G ) est la matrice d'incidence, et est la matrice d'identité de la dimension Q.
La matrice de Kirchhoff de est obtenue à partir du orienté M ( G ) de matrice d'incidence par la formule
L'espace intégral de cycle de d'un graphique est égal à l'espace nul de sa matrice d'incidence orientée, vu comme matrice au-dessus des nombres entiers ou du les vrais nombres complexes de ou de . L'espace binaire de cycle est l'espace nul de sa matrice d'incidence orientée ou unoriented, vu comme matrice au-dessus du champ de deux-élément.
Par signé et Bidirected représente graphiquement
La matrice d'incidence d'un graphique signé est une généralisation de la matrice d'incidence orientée. C'est la matrice d'incidence de n'importe quel graphique bidirected qui oriente le graphique signé donné. La colonne d'un bord positif a des +1 dans la rangée correspondant à un point final et A-1 dans la rangée correspondant à l'autre point final, juste comme un bord dans un graphique (non signé) ordinaire. La colonne d'un bord négatif a des +1 ou A-1 dans les deux rangées. Graphe linéaire et des propriétés de matrice de Kirchhoff généralisent aux graphiques signés.
Multigraphes
Les définitions de la matrice d'incidence s'appliquent aux graphiques avec les boucles et les bords de multiple de . La colonne d'une matrice d'incidence orientée qui correspond à une boucle est chacun des zéro, à moins que le graphique soit signé et de la boucle est négative ; alors la colonne est chacun des zéro excepté ±2 dans la rangée de son sommet d'incident.
L'incidence de structure
La matrice d'incidence de d'un C de structure d'incidence est des × du p un ; matrice du q , où le p et le q sont le nombre de points et les lignes respectivement, tels que si le point et la ligne sont incident et 0 autrement. Dans ce cas-ci la matrice d'incidence est également une matrice de Biadjacency de du graphique de Levi de de la structure.
Les géométries finies
Un exemple important est une géométrie finie. Par exemple, dans un avion fini, le X est l'ensemble de points et le Y est l'ensemble de lignes. Dans une géométrie finie d'une dimension plus élevée, le X pourrait être l'ensemble de points et le Y pourrait être l'ensemble de sous-espaces de la dimension une moins que la dimension du Y ; ou le X a pu être l'ensemble de tous les sous-espaces d'un d de dimension et de Y l'ensemble de tous les sous-espaces d'un autre e de dimension.
Conceptions de bloc
Un autre exemple est une conception de bloc. Ici le X est un ensemble fini de " ; points" ; et le Y est une classe des sous-ensembles de X , appelés le " ; blocks" ; , sujet aux règles qui dépendent du type de conception. La matrice d'incidence est un outil important dans la théorie de conceptions de bloc. Par exemple, elle est employée pour prouver le théorème fondamental des 2 conceptions symétriques, que le nombre de blocs égale le nombre de points.
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