Matrice d\'Adjugate

Dans l'algèbre linéaire , l'adjugate ou l'adjoint classique d'une matrice carrée est une matrice qui joue un rôle semblable à l'inverse de d'une matrice ; elle peut cependant être définie pour n'importe quelle matrice carrée sans nécessité d'exécuter toutes les divisions.

L'adjugate s'est parfois appelé le " ; adjoint" ; , mais cette terminologie est ambiguë. Aujourd'hui, " ; adjoint" ; d'une matrice se rapporte normalement à son opérateur d'adjoint correspondant , qui est son conjugé de transpose .

Définition

Supposer que le R est un anneau commutatif et le A est des × du n un ; matrice du n avec des entrées du R . Définir ( i , j ) - l'ij mineur de de _{du M du de du A comme déterminant du (  de n ; &minus ;   ; 1)× ; (  de n ; &minus ;   ; 1) matrice qui résulte de supprimer le i de rangée et le j de colonne du A , et le i , cofacteur de du j du A As}

$\backslash \; mathbf\; \{C\}\; \_\; \{ij\}\; =\; (-\; ^\; de\; 1)\; \{i+j\}\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \_\; \{\}\; d\text{'}ij\; \backslash ,$.

Alors l'adjugate du A est les × du n ; matrice du n dont le i , entrée du j est

$\backslash \; mathrm\; \{ajustement\}\; (\backslash \; mathbf\; \{A\})\; \_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; \_\; \{\}\; de\; ji\; \backslash ,$.

C'est-à-dire, l'adjugate du A est le transposent du " ; matrix" de cofacteur ; (ij de de _{de C ) du A .}

Il peut (ou ne pas pouvoir) être utile d'attacher des noms aux étapes dans le processus. Vous pouvez laisser le M ^~_ij être (n-1) le mineur de matrice de x (n-1), c., la matrice qui résulte de supprimer la rangée i et la colonne j du A . Puis M _ij = det ( M ^~_ij). Laisser le cof ( A ) soit la matrice de cofacteur mentionnée ci-dessus. Puis l'ajustement ( A ) = transposent du cof ( A ).

Exemples

Comme exemple, nous avons le $de$

\ operatorname {ajustement} \ commencent {pmatrix} 2& \, 1& \, 1 \ \ 0& \ ! \ ! - 1& \, 2 \ \ 0& \, 2& \ ! \ ! - 1 \ extrémité {pmatrix} = \ commencer {le pmatrix} -3& \, \, \, 3& \, \, \, 3 \ \ \, \, \, 0&-2&-4 \ \ \, \, \, 0&-4&-2 \ extrémité {pmatrix} .

Ici, −4 dans dernier rangée, deuxième colonne était calculé par supprimant deuxième rangée et dernier colonne de original matrice et calculant

.

Un exemple plus générique est ceci : matrice donnée

$\backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; \backslash \; commencent\; \{le\; pmatrix\}\; 13\}\; \backslash \; d\text{'}A\_\; \{11\}\; et\; d\text{'}A\_\; \{12\}\; et\; d\text{'}A\_\; \{\backslash \; 23\}\; \backslash \; d\text{'}A\_\; \{21\}\; et\; d\text{'}A\_\; \{22\}\; et\; d\text{'}A\_\; \{\backslash \; A\_\; \{31\}\; et\; A\_\; \{32\}\; et\; A\_\; \{33\}\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}$, son adjugate est $ de \ mbox {ajustement} (\ mathbf {A}) = \ commence {pmatrix} + \ laissé| \ commencent {matrice} A_ {22} et A_ {23} \ \ A_ {32} et A_ {33} \ extrémité {matrice} \ droit| et - \ laissé| \ commencent {matrice} A_ {12} et A_ {13} \ \ A_ {32} et A_ {33} \ extrémité {matrice} \ droit| et + \ laissé| \ commencent {matrice} A_ {12} et A_ {13} \ \ A_ {22} et A_ {23} \ extrémité {matrice} \ droit| \ \ et et \ \ - \ laissé| \ commencent {matrice} A_ {21} et A_ {23} \ \ A_ {31} et A_ {33} \ extrémité {matrice} \ droit| et + \ laissé| \ commencent {matrice} A_ {11} et A_ {13} \ \ A_ {31} et A_ {33} \ extrémité {matrice} \ droit| et - \ laissé| \ commencent {matrice} A_ {11} et A_ {13} \ \ A_ {21} et A_ {23} \ extrémité {matrice} \ droit| \ \ et et \ \ + \ laissé| \ commencent {matrice} A_ {21} et A_ {22} \ \ A_ {31} et A_ {32} \ extrémité {matrice} \ droit| et - \ laissé| \ commencent {matrice} A_ {11} et A_ {12} \ \ A_ {31} et A_ {32} \ extrémité {matrice} \ droit| et + \ laissé| \ commencent {matrice} A_ {11} et A_ {12} \ \ A_ {21} et A_ {22} \ extrémité {matrice} \ droit| \ extrémité {pmatrix} $ là où le $de\; \backslash \; est\; parti|\; \backslash \; commencent\; \{matrice\}\; A\_\; \{ij\}\; et\; A\_\; \{kilolitre\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash ,\; \backslash ,\; A\_\; \{manganèse\}\; et\; A\_\; \{op\}\; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}\; \backslash \; droit|=\; \backslash \; det\; \backslash \; est\; parti\; (\backslash \; commencent\; \{matrice\}\; A\_\; \{ij\}\; et\; A\_\; \{kilolitre\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash ,\; \backslash ,\; A\_\; \{manganèse\}\; et\; A\_\; \{op\}\; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}\; \backslash \; droit)\; ;$

tandis que : le $de$

\ mbox {ajustement} \ commencent {le pmatrix}

et

\ \

et

\ extrémité {pmatrix} = \ commencent {} de pmatrix \, \, \,

et \ ! \ ! b \ \ c et

\ extrémité {pmatrix}

Applications

Par suite de la formule de Laplace de pour la cause déterminante des × du n un ; le A de matrice du n , nous avons

$(*)\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{ajustement\}\; (\backslash \; mathbf\; \{A\})\; =\; \backslash \; mathrm\; \{ajustement\}\; (\backslash \; mathbf\; \{A\})\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; \backslash \; det\; (\backslash )\; de\; mathbf\; \{A\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{I\}$

là où le I est les × du n ; matrice d'identité de du n . En effet, le i , entrée du i du   du A de produit ; l'ajustement ( A ) est le produit scalaire du i de rangée du A avec le i de rangée (ij de de _{de C ), qui est simplement la formule de Laplace pour le det ( A ) augmenté par le i de rangée, et pour du j de ≠ du i le i , entrée du j du produit est le produit scalaire du i de rangée du A avec le j de rangée de (ij} de de _{de C ), qui est la formule de Laplace pour la cause déterminante d'une matrice à qui i et j rame sont l'égale et sont donc zéro.}

De cette formule suit un des résultats les plus importants dans l'algèbre de matrice : Un de matrice A au-dessus d'un R d'anneau commutatif est inversible si et seulement si le det ( A ) est inversible dans le R .

Pour si le A est une matrice inversible puis 1 de = det ( I ) = det ( A  ; Un ^{&minus de ; 1}) =   de det ( A ) ; det (^{&minus de A ; 1}), et si le det ( A ) est une unité alors (*) montre en haut cela

$\backslash \; mathbf\; \{A\}\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; det\; (\backslash \; mathbf\; \{A\})\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{ajustement\}\; (\backslash \; mathbf\; \{A\})$.

Propriétés

L'adjugate a les propriétés

$\backslash \; mathrm\; \{ajustement\}\; (\backslash \; mathbf\; \{I\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; \backslash ,$
$\backslash \; mathrm\; \{ajustement\}\; (\backslash \; mathbf\; \{ab\})\; =\; \backslash \; mathrm\; \{ajustement\}\; (\backslash \; mathbf\; \{B\})\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{ajustement\}\; (\backslash )\; de\; mathbf\; \{A\}\; \backslash ,$ pour tous les × du n ; A de matrices du n et B .

L'adjugate préserve la transposition : $de$

\ ^T du mathrm {ajustement} (\ = ^T) de mathbf {A} \ mathrm {ajustement} (\ mathbf {A}) \, .

En outre,

$\backslash \; det\; \backslash grand(\backslash \; mathrm\; \{ajustement\}\; (\backslash \; mathbf\; \{A\})\; \backslash \; grand)\; =\; \backslash \; det\; (\backslash \; mathbf\; \{A\})\; ^\; \{n-1\}\; \backslash ,$.

Si p ( t ) = det (  de A ; &minus ;   ; le Ti de ) est le polynôme caractéristique du A et nous définissons le polynôme q ( t ) = 0)   (de p (; &minus ;   ; p ( t ))/ t , puis $de$

\ mathrm {ajustement} (\ mathbf {A}) = q (\ mathbf {A}) = - (p_1 \ mathbf {I} + p_2 \ mathbf {A} + p_3 \ mathbf {A} ^2 + \ cdots + ^ de p_ {n} \ mathbf {A} {n-1}) ,

là où le p_j de $sont\; les\; coefficients\; de\; p\; (\; t\; ),$ p\; de$$

(t) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2 + \ t^ p_ de cdots {n} {n}.

L'adjugate apparaît également dans la formule du dérivé du déterminant.

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