Matrice Symplectic

Dans les mathématiques , une matrice symplectic est des × du 2n un ; M (dont les entrées de la matrice du 2n sont typiquement le vrai ou le complexe) satisfaisant le $M^T de de condition \ = d'Omega M \ Omega \.$ là où le M^T dénote le transposer du M et du &Omega ; est un fixe non singulier, la matrice Biaiser-symétrique . Typiquement &Omega ; est choisi d'être le $de \ commencer {le bmatrix} 0 et \ d'I_n \ - I_n et 0 \ \ \ extrémité {bmatrix}$ là où le I _n est les × du n ; matrice d'identité de du n . Noter ce &Omega ; a le déterminant +1 et fait donner un inverse par &Omega ; ^{&minus ; 1} = &minus ; &Omega ;.

Propriétés

Chaque matrice symplectic est le inversible avec la matrice inverse donnée par = de $M^ de {- 1} \ Omega^ {- 1} M^T \ Omega$ En outre, le produit de deux matrices symplectic est, encore, une matrice symplectic. Ceci donne à l'ensemble de toutes les matrices symplectic la structure d'un groupe . Là existe une structure diverse du normal sur ce groupe qui la transforme en vrai ou complexe) groupe de Lie de d'a ( appelé le groupe Symplectic . Le groupe symplectic a le n (2 n de dimension + 1).

Il découle facilement de la définition que le déterminant de n'importe quelle matrice symplectic est ± ; 1. En fait, il s'avère que la cause déterminante est toujours l'one-way +1. à voir que c'est par l'utilisation du Pfaffian et du $de d'identité \ du mbox {pf} (= de M^T \ Omega M) \ det (M) \ mbox {pf} (\ Omega).$ Puisque $M^T \ Omega M = \ Omega$ et $\ mbox {pf} (\) d'Omega \ quantité nette de substance explosive 0$ nous avons ce det ( M ) = 1.

Supposer le &Omega ; est donné sous le format standard et laisser le M soit 2 × du n un ; 2 la matrice de bloc de du n donnée par le $M de = \ commencent {pmatrix} \ d'A et de B \ C et D \ extrémité {pmatrix}$ là où le A, B, C, D sont des × du n ; matrices du n . La condition pour le M à être symplectic est équivalente au $A^TD de de conditions - A^TC du C^TB = 1 = D^TB C^TA = B^TD.$

Quand n = 1 que ces conditions réduisent au célibataire conditionner le det ( M ) = 1. Ainsi un 2× ; la matrice 2 est le symplectic IFF qu'il a la cause déterminante d'unité.

Transformations Symplectic

Dans la formulation abstraite de l'algèbre linéaire , des matrices sont remplacées par les transformations linéaires des espaces de vecteur Fini-dimensionnels de du . L'analogue abstrait d'une matrice symplectic est une transformation symplectic d'un espace de vecteur Symplectic . Brièvement, un espace de vecteur symplectic est 2 un n - le dimensionnel V de l'espace de vecteur équipé d'un Nondegenerate, &omega bilinéaire de la forme Biaiser-symétrique du ;.

Une transformation symplectic est alors un linéaire L de transformation : &rarr du V ; V qui préserve le &omega ; , = c. de
$(Lu, BT) \ Omega (u, v).$ Réparation d'une base pour le V , &omega ; peut être écrit comme &Omega de matrice ; et L comme M de matrice. La condition que le L soit une transformation symplectic est avec précision la condition que ce M être une matrice symplectic : $M^T de \ = d'Omega M \ Omega.$

Sous un changement de de la base , représenté par un A de matrice, nous $M avons le de \ Omega \ mapsto A^T \ d'Omega A$
\ mapsto A^ {- 1} M A. On peut toujours apporter le &Omega ; à l'un ou l'autre des formats standards donnés dans l'introduction par un choix approprié du A .

La matrice Ω

Des matrices Symplectic sont définies relativement à un fixe non singulier, &Omega Biaiser-symétrique de la matrice ;. Comme expliqué dans la section précédente, &Omega ; peut être considéré comme représentation du même rang d'une forme bilinéaire Biaiser-symétrique Nondegenerate du . C'est un résultat de base dans l'algèbre linéaire que deux telles matrices quelconques diffèrent entre eux par un changement de de la base .

L'alternative la plus commune au &Omega standard ; donné ci-dessus est le bloc de $\ Omega diagonaux de de forme de = \ commencent {bmatrix} \ commencer {matrice} 0 et 1 \ \ -1 et 0 \ extrémité {matrice} et et 0 \ \ et \ ddots et \ \ 0 et et \ commencent {matrice} 0 et 1 \ \ -1 et 0 \ extrémité {la matrice} \ extrémité {bmatrix}$ Ce choix diffère de le précédent par une permutation des vecteurs de base.

Parfois le J de notation est employé au lieu du &Omega ; pour la matrice biaiser-symétrique. C'est un choix particulièrement malheureux car il mène à la confusion avec la notion d'une structure complexe , qui a souvent la même expression du même rang que le &Omega ; mais représente une structure très différente. Un complexe J de structure est la représentation du même rang d'une transformation linéaire cette des places au &minus ; 1, tandis que &Omega ; est la représentation du même rang d'une forme bilinéaire biaiser-symétrique nondegenerate. On pourrait facilement choisir les bases dans lesquelles le J n'est pas biaiser-symétrique ou &Omega ; n'ajuste pas au &minus ; 1.

Donné un la structure hermitienne sur un espace de vecteur, un J et un &Omega ; sont connexe par l'intermédiaire du $de \ de Omega_ {ab} = - le g_ {C.} {J^c} _b$ là où le $g_ {C.}$ est le métrique. Ce J et &Omega ; avoir habituellement la même expression du même rang (jusqu'à un signe global) est simplement une conséquence du fait que le métrique g est habituellement la matrice d'identité.

Voir également

L'espace de vecteur Symplectic
Groupe Symplectic
Représentation Symplectic
Matrice orthogonale
Matrice unitaire
Mécanique hamiltonienne

Random links: