Magma (algèbre)

Dans les mathématiques , en particulier dans l'algèbre d'abrégé sur , un magma (ou groupoid ) est un genre de base de structure algébrique . Spécifiquement, un magma se compose d'un réglé M du équipé des × simples du M un de l'opération binaire ; M DE → DU M . Une opération binaire est clôturé par par définition, mais aucun autre axiome n'est imposé à l'opération.

Le magma limite pour ce genre de structure a été présenté par le Bourbaki . Le groupoid limite est une alternative plus ancienne, mais encore utilisée généralement qui a été présentée par le minerai de Øystein de . Cependant, le groupoid de se rapporte également à une structure algébrique entièrement différente décrite au Groupoid .

Types de magmas

Des magmas ne sont pas souvent étudiés en tant que tels ; au lieu de cela il y a plusieurs différents genres de magmas, selon quels axiomes l'on a pourrait exiger de l'opération. Les types généralement étudiés de magmas incluent le
Quasigroups mdash; Magmas non vides du où la division est toujours possible ;
le fait une boucle le mdash de ; quasigroups avec les éléments d'identité
Mdash des semigroupes ; magmas où l'opération est le associatif ;
Mdash des monoîdes ; semigroupes avec les éléments d'identité
le groupe le mdash de ; monoîdes avec les éléments inverses ou d'une manière equivalente, boucles associatives (qui sont toujours des quasigroups) ;
Mdash des groupes abéliens ; groupes où l'opération est le commutatif. de de
de

du magma à grouper, par l'intermédiaire de deux chemins alternatifs. Clef : M = magma, d = divisibility, a = associativity, Q = quasigroup, S = semigroup, e = identity. L = loop, I = inversibility, N = monoid, G = note de group que la divisibilité et l'inversibility impliquent le l'existence de la propriété d'annulation de .

Morphism des magmas

Un Morphism des magmas est un

f de fonction : M \ à N

traçant le magma

M

au magma

N

, ce préserve l'opération binaire :

f de  (x \ ; *_M \ ; y) = f (x) \ ; *_N \ ; f (y)

là où $*_M$ et $*_N$ dénotent l'opération binaire sur $M$ , respectivement sur $N$ .

Combinatoire et parenthèses

Pour la forme générale et non-associative, l'opération de magma peut être à plusieurs reprises réitérée. Pour dénoter des pairings, des parenthèses sont employées. La corde en résultant se compose des symboles dénotant des éléments du magma, et des ensembles équilibrés de parenthèse. L'ensemble de toutes les cordes possibles de parenthèse équilibrée s'appelle la langue de Dyck de . Tout le nombre de différentes manières des demandes du n d'écriture de l'opérateur de magma est donné par le nombre catalan $C_n$ de . Ainsi, par exemple, $C_2=2$ , qui est juste le rapport que le $(ab) c$ et le $a (avant Jésus Christ)$ sont les seules deux manières d'appareiller trois éléments d'un magma avec deux opérations.

Une sténographie est employée souvent afin d'éviter autant parenthèse comme possible. Ceci est accompli en employant la juxtaposition au lieu de l'opération. Par exemple, si l'opération de magma est *, puis le de x/y * le z abrège ( X * le y ) * le z . D'autres abréviations sont possibles en insérant les espaces, par exemple en écrivant à de x/y * le z * le wv de au lieu de (( X * le y ) * z ) * ( W * le v ). Naturellement, parce que des expressions plus complexes que l'utilisation de la parenthèse s'avère être inévitable. Une manière pour éviter complètement l'utilisation des parenthèses est la notation de préfixe , qui est, cependant, contre-intuitif.

Magma libre

Un magma libre de $M_X$ sur un X d'ensemble est le " ; la plupart de possible" général ; magma produit par le X (qui d'ensemble est à dire là ne sont aucune relation ou axiome imposé aux générateurs ; voir l'objet libre ). Il peut être décrit, en termes familiarisés dans le de l'informatique, comme magma des arbres binaires avec des feuilles marquées par des éléments du X . L'opération est celle des arbres de jointure à la racine. Elle a donc un rôle fondamental en syntaxe .

Un magma libre a la propriété de liberté tels que, si $f : X \ à N$ est une fonction du X d'ensemble à n'importe quel N de magma, puis il y a une prolongation unique de $f$ à un morphism du $f^ de magmas \ prime$ $f^ \ perfection de : M_X \ à N$

Le voient également : Semigroupe libre , groupe libre , Hall réglé de de

Plus de définitions

Un magma ( S , *) s'appelle
Unital de

s'il a un élément d'identité,
médial de s'il satisfait le de x/y * uz d'identité de = xu de * le yz de (c. ( X * le y ) * ( u * le z ) = ( X * le u ) * ( y * le z ) pour tout le X , le y , le u , z dans le S ),
le a laissé semimedial s'il satisfait le xx * yz d'identité de = de x/y * le xz de ,
droite semimedial de s'il satisfait le yz * le xx de d'identité = yx de * le zx de ,
Semimedial de s'il est les deux semimedial gauche et droit,
le a laissé distributif s'il satisfait le X * yz d'identité de = de x/y * le xz de ,
droite distributif de s'il satisfait le yz * le X de d'identité = yx de * le zx de ,
Autodistributive de s'il est les deux distributif gauche et droit,
commutatif de s'il satisfait le d'identité de x/y = yx de ,
quantité de s'il satisfait le xx d'identité = X ,
Unipotent de s'il satisfait le xx d'identité = yy ,
Zeropotent de s'il satisfait le xx * le y d'identité = yy * le X = xx ,
alternative de s'il satisfait le xx * le y d'identités = X * le de x/y et le X * le yy = de x/y * le y ,
Puissance-associatif de si le submagma produit par n'importe quel élément est associatif,
le a laissé le Cancellative si pour tout le X , y , et z , de x/y = xz de implique le y = z
droit-cancellative si pour tout le X , y , et z , yx de = zx de implique le y = z
cancellative s'il est droit-cancellative et gauche-cancellative
un semigroupe de s'il satisfait le X * yz d'identité de = de x/y * le z (associativity ),
un semigroupe de avec les zéros gauches s'il satisfait le X d'identité = de x/y,
un semigroupe de avec les bons zéros s'il satisfait le X d'identité = yx de ,
un semigroupe de avec la multiplication nulle s'il satisfait le d'identité de x/y = UV,
un a laissé unar s'il satisfait le d'identité de x/y = xz de ,
une droite unar de s'il satisfait le yx de d'identité = zx de ,
le triple de Trimedial de le cas échéant de ses éléments (pas nécessairement distincts) produit d'un submagma médial,
entropique de si c'est une image homomorphe d'un magma médial de l'annulation .

Si le $M \ périodes M \ à M$ est à la place une opération partielle , alors le M s'appelle un magma partiel .

Voir également

Catégorie de magma de
Objet automatique de magma de
Algèbre universelle
Système d'algèbre d'ordinateur de magma de , baptisé du nom de l'objet de cet article.
Un exemple de d'un magma non-associative commutatif

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