Médian

Dans la théorie des probabilités et les statistiques , un médian est décrit comme nombre séparant la moitié plus élevée d'un échantillon, d'une population, ou d'une distribution de probabilité , de la moitié inférieure. Le médian d'une liste finie de nombres peut être trouvé en arrangeant toutes les observations de la valeur la plus basse à la valeur la plus élevée et en sélectionnant le moyen. S'il y a un chiffre pair des observations, la médiane n'est pas unique, ainsi on prend souvent le moyen des deux valeurs moyennes.

Tout au plus la moitié de la population ont des valeurs moins que le médian et ont tout au plus à moitié des valeurs plus grandes que la médiane. Si les deux groupes contiennent moins que la moitié de la population, alors une partie de la population est exactement égale à la médiane.

Explication populaire

La grande différence entre la médiane et le moyen est illustrée dans un exemple simple.

Supposer que 19 indigents et 1 milliardaire sont dans une chambre. Chacun enlève tout l'argent de leurs poches et le met sur une table. Chaque indigent met $5 sur la table ; le milliardaire met $1 milliards (c. $10⁹) là. Le total est alors $1. Si cet argent est divisé également parmi les 20 personnes, chacun obtient $50. Cette quantité est la somme d'argent du moyen de que les 20 personnes ont introduite dans la salle. Mais la quantité médiane du est $5, puisqu'on peut diviser le groupe en deux groupes de 10 personnes chacun, et indique que chacun dans le premier groupe amené dans pas plus de $5, et chaque personne dans le deuxième groupe amené dans aucuns plus moins de $5. dans une certaine mesure, la médiane est la quantité que la personne typique du a apportée dedans. En revanche, le moyen est pas du tout typique, puisque personne dans la chambre apportée dans une quantité $50.

Non-unicité

Il peut y avoir plus que celui médian : par exemple s'il y a un chiffre pair des cas, et les deux valeurs moyennes sont différentes, puis il n'y a aucune valeur moyenne unique. La notification, sont cependant, qu'au moins la moitié des nombres dans la liste sont inférieur ou égal à l'un ou l'autre des deux valeurs moyennes, et au moins à moitié supérieur ou égal à l'un ou l'autre des deux valeurs, et la même est vraie de n'importe quel de nombre entre les deux valeurs moyennes. Ainsi l'une ou l'autre des deux valeurs moyennes et tous les nombres entre elles sont des médianes dans ce cas.

Mesures de dispersion statistique

Quand le médian est employé comme paramètre d'endroit dans des statistiques descriptives, il y a plusieurs choix pour une mesure de variabilité : la gamme , la gamme interquartile , la déviation absolue moyen, et la déviation absolue médiane . Puisque la médiane est identique que le quartile uxièmes, son calcul est illustré dans l'article sur les quartiles

Travaillant avec des ordinateurs, une population des nombres entiers devrait avoir une médiane de nombre entier. Ainsi, à une population de nombre entier avec un chiffre pair des éléments, il y a deux médianes connues sous le nom de plus bas la médiane supérieure médiane de et de . À la population de virgule flottante, la médiane se trouve quelque part entre les deux éléments moyens, selon la distribution. Ainsi s'il n'y a pas un nombre moyen et il y a deux nombres laissés, c'est un exemple

Médianes des distributions de probabilité

Pour n'importe quelle distribution de probabilité sur la vraie ligne du avec le cumulatif de la fonction de répartition F , indépendamment de si c'est n'importe quel genre de distribution de probabilité continue, en particulier une distribution absolument continue (et a donc une fonction de densité de probabilité ), ou une distribution de probabilité discrète, un médian m satisfait les inégalités , de $\ operatorname de {P} (X \ leq m) \ geq \ frac {1} {2} \ quadruple \ et \ quadruple \ operatorname {P} (X \ geq m) \ geq \ frac {1} {2} \ \ !$

$\ int_ {- \ infty} ^m \ mathrm {d} F (x) \ geq \ frac {1} {2} \ quadruple \ et \ quadruple \ int_m^ {\ infty} \ mathrm {d} F (x) \ geq \ frac {1} {2} \, \ !$

dans ce qu'un Riemann-Stieltjes intégral est employé. Pour une distribution de probabilité absolument continue avec le f de la fonction de densité de probabilité , nous prenons $de \ operatorname {P} (= de X \ leq m) \ operatorname {P} (m)= de X \ geq \ ^m f d'int_ {- \ infty} (x) \, \ mathrm {d} x=0. \, \ !$

Médianes des distributions particulières : Les médianes de certains types de distributions peuvent être facilement estimées à partir de leurs paramètres : La médiane d'un de distribution normale avec le μ et le désaccord moyens σ² est μ. En fait, pour un de distribution normale, moyen = médiane = mode. Médiane de uniforme distribution dans intervalle '' b '' est () de + de b /2, qui est également le moyen. La médiane d'une distribution de Cauchy de avec le X ₀ de paramètre d'endroit et le y de paramètre de balance est le X ₀, le paramètre d'endroit. La médiane d'une distribution exponentielle avec le $de paramètre \ lambda$ est la notation normale de 2 divisés par le paramètre de balance : $\ frac {\ ln 2} {\ lambda}$ . La médiane d'une distribution de Weibull de avec le paramètre k de forme et le $de paramètre de balance \ lambda$ est $\ frac {(\ ln 2)^ {1/k}} {\ lambda}$ .

Médianes dans des statistiques descriptives

La médiane est principalement employée pour les distributions de de travers par , qu'il représente différemment que la moyenne arithmétique . Considérer le multi-ensemble {1, 2, 2, 2, 3, 9} de . La médiane est 2 dans ce cas-ci, de même que le mode , et il pourrait voir comme meilleure indication de la tendance centrale que la moyenne arithmétique de 3.

Le calcul des médianes est une technique populaire dans les statistiques sommaires et le récapitulant les données statistiques , puisqu'il est simple de comprendre et facile à calculer, tout en également donnant une mesure qui est plus robuste en présence de l'annexe évalue qu'est le moyen .

Propriétés théoriques

Une propriété d'optimalité

La médiane est également le point central qui réduit au minimum la moyenne des déviations absolues ; dans l'exemple au-dessus de ceci être (1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 7)/6 = 1.5 using la médiane, alors qu'elle serait 1. Dans la langue de la théorie des probabilités, la valeur du c qui réduit au minimum $E de (\ est parti|X-c \ droit|) \,$

est la médiane de la distribution de probabilité du X de la variable aléatoire . Note, non bien défini cependant, que c n'est pas toujours unique, et donc en général.

Une inégalité rapportant des moyens et des médianes

Pour des distributions de probabilité continues, la différence entre la médiane et le moyen est inférieur ou égal à un écart type . Voir le une inégalité sur l'endroit et mesurer les paramètres .

Calcul efficace

Quoique le assortissant des articles du n de rentre des opérations générales du O ( n de notation de n ), en employant un " de ; clivage et conquer" ; l'algorithme la médiane des articles du n peut être calculé avec seulement des opérations du O ( n ) (en fait, vous pouvez toujours trouver le k - élément de Th d'une liste de valeurs avec cette méthode ; ceci s'appelle le problème de choix de ).

Voir également

Médiane géométrique
Statistique d'ordre
une inégalité sur les paramètres d'endroit et de balance
La médiane est le 2ème quartile , le 5ème décile , et le cinquantième percentile .
Théorie médiane d'électeur de
La médiane est en général un estimateur de partial par .

Random links:

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