Longueur d\'arc

Détermination de la longueur de d'un segment&mdash irrégulier de l'arc ; rectification également appelée d'un &mdash de la courbe ; était historiquement difficile. Bien que beaucoup de méthodes aient été employées pour les courbes spécifiques, l'arrivée du calcul a mené à une formule générale qui fournit les solutions de forme close de dans certains cas.

Définition précise

Choisir un nombre fini de points le long d'une courbe et relier chaque point au prochain à une ligne droite. La somme des longueurs d'une telle ligne segments est la longueur d'un " ; " polygonal du chemin ;.

Définition de : la longueur de la courbe est le plus petit nombre que de telles longueurs des chemins polygonaux peuvent ne jamais dépasser, n'importe comment étroit ensemble les points finaux discret placés de la ligne segments sont.

Dans la langue des mathématiciens, la longueur d'arc est le Supremum de toutes les longueurs de tels chemins polygonaux.

Cette définition n'exige pas de la courbe d'être " ; smooth" ; ; il n'a pas besoin d'être le graphique ou l'image d'une fonction différentiable.

Méthodes modernes

Considérer un f ( X ) de la fonction tels que &prime du f ( X ) et du f ; ( X ) (son dérivé en ce qui concerne X ) sont le continu sur le ['' a '',   ; '' b ''] . Le s de longueur de la partie du graphique du f entre le X = un et X = b est trouvé par la formule

$s\; =\; \backslash \; int\_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; racine\; carré\; \{1\; +\; ^2\}\; \backslash ,\; dx.$ ce qui est dérivé de la formule de distance de rapprochant la longueur d'arc avec beaucoup de petites lignes. À mesure que le nombre de ligne segments augmente (à l'infini au moyen de l'intégrale) cette approximation devient une valeur exacte.

Si une courbe est définie paramétriquement par le X = X ( t ) et y = Y ( t ), alors sa longueur d'arc entre le t = un et le t = b est

$s\; =\; \backslash \; int\_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash racinecarré\; \{^2\; +\; ^2\}\; \backslash ,\; décollement.$ C'est plus clair une conséquence de la formule de distance où au lieu d'un X de Δ et du y de Δ, nous prenons la limite. Utile mnémonique est

$s\; =\; \backslash \; lim\; \backslash \; sum\_a^b\; \backslash \; racine\; carré\; \{\backslash \; +\; de\; delta\; x^2\; \backslash \; delta\; y^2\}\; =\; \backslash \; int\_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; racine\; carré\; \{dx^2\; +\; dy^2\}\; =\; \backslash \; int\_\; \{a\}\; ^\; \{+\}\; de\; b\; \backslash racine\; carrée\{\backslash \; à\; gauche\; (\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{décollement\}\; \backslash \; droit)\; ^2\; \backslash \; à\; gauche\; (\backslash \; frac\; \{Dy\}\; \{décollement\}\; \backslash \; droit)\; ^2\}\; \backslash ,\; décollement.$

Si une fonction est définie dans les coordonnées polaires par le r = f (θ) puis la longueur d'arc est indiquée près $s\; de$

= \} ^2 \, de l'int_a^b \ racine carrée {r^2+ \ parti (\ frac {Dr.} {d \ thêta} \ droit) d \ theta.

Dans la plupart des cas, y compris même les courbes simples, il n'y a aucune solution de forme close de de longueur d'arc et l'intégration numérique est nécessaire.

Les courbes avec la solution de forme close pour la longueur d'arc incluent la caténaire , le cercle , le cycloïdal, la spirale logarithmique , la parabole , la parabole semi-cubique et (mathématiquement, une courbe) la ligne droite . Le manque de solution de forme close pour la longueur d'arc d'un arc elliptique du a mené au développement des intégrales elliptiques

Dérivation

Afin de rapprocher la longueur d'arc de la courbe, il est coupé en beaucoup de segments linéaires du . Pour rendre la valeur exacte, et pas une approximation , de infiniment beaucoup d'éléments linéaires de sont nécessaires. Ceci signifie que chaque élément est infiniment petit. Ce fait se manifeste plus tard quand un intégral est employé.

Commencer en regardant un segment linéaire représentatif (voir l'image) et observer que sa longueur (élément de la longueur d'arc) sera le différentiel ds du . Nous appellerons l'élément horizontal de ce dx distance, et le Dy vertical de d'élément.

La formule de distance de nous indique cela = de $ds\; de$

\ racine carrée {dx^2 + dy^2}. \,

Puisque la fonction est définie à temps, des segments ( ds ) sont ajoutés vers le haut à travers des intervalles infintesimally petits du temps (décollement de ) rapportant l'intégrale $de$

\ int_a^b \ racine carrée {\ orge à quatre rangs (\ frac {dx} {} de décollement \ orge à quatre rangs)} ^2 \, de ^2+ \ orge à quatre rangs (\ frac {Dy} {} de décollement \ orge à quatre rangs) décollement,

Si des valeurs commodes pour t étaient choisies, c. le t = X , il rapporterait : } ^2 \, de $\backslash \; int\_a^b\; de$

\ racine carrée {1+ \ orge à quatre rangs (\ frac {Dy} {} de dx \ orge à quatre rangs) dx,

ce qui est la longueur d'arc du t = un au t = b du f ( t ) de fonction paramétrique.

Par exemple, la courbe dans cette figure est définie près le $de$

\ commencent {des cas} y = t^5, \ \ x = t^3. \ extrémité {cas}

Plus tard, l'intégrale de longueur d'arc pour des valeurs du t de &minus ; 1 à 1 est

$\backslash \; int\_\; \{-\; 1\}\; ^1\; \backslash \; racine\; carré\; \{(3t^2)^2\; +\; (5t^4)^2\}\; \backslash ,décollement=\; \backslash \; int\_\; \{-\; 1\}\; ^1\; \backslash \; racine\; carré\; \{9t^4\; +\; 25t^8\}\; \backslash ,\; dt.$

Using des approximations informatiques, nous pouvons obtenir (mais rapprocher toujours) une longueur d'arc très précise de 2. Une expression en termes de fonction hypergéométrique peut être obtenue : c'est $2\; \backslash ,\; \{\}\; \_2F\_1\; \backslash \; est\; parti\; (-\; \backslash \; 2\},\; de\; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\; ;\; \backslash \; frac\; \{7\}\; \{4\}\; ;\; -\; \backslash \; frac\; \{25\}\; \{9\}\; \backslash )$ droit

Méthodes historiques

Antique

Pour une grande partie de l'histoire de des mathématiques , même les plus grands penseurs l'ont considéré impossible de calculer la longueur de d'un arc irrégulier . Bien que le Archimède ait frayé un chemin une approximation rectangulaire pour trouver le secteur sous une courbe avec sa méthode de d'épuisement , peu ont cru qu'il était même possible que les courbes aient des longueurs définies, de même que font les lignes droites. La première terre était cassée dans ce domaine, comme elle souvent a été dans le calcul , par l'approximation . Les gens ont commencé à inscrire les polygones dans les courbes et à calculer la longueur des côtés pour une mesure quelque peu précise de la longueur. En employant plus de segments, et en diminuant la longueur de chaque segment, ils pouvaient obtenir de plus en plus une approximation précise.

1600s

Dans les 1600s , la méthode d'épuisement menée à la rectification par des méthodes géométriques de plusieurs courbes transcendantales la spirale logarithmique par le Evangelista Torricelli dans le 1645 (quelques sources indiquent le John Wallis dans le 1650s ), le cycloïdal par le roitelet de Christopher de dans le 1658 , et la caténaire par le Gottfried Leibniz dans le 1691 .

Dans le 1659 , Wallis ont crédité le découverte de s de Neile William 'de la première rectification d'une courbe algébrique , la parabole semi-cubique non trivial de .

Forme intégrale

Avant le plein développement formel du calcul, la base pour la forme intégrale moderne pour la longueur d'arc a été indépendamment découverte par le Hendrik van Heuraet et le Pierre Fermat .

Dans le 1659 van Heuraet a édité une apparence de construction que la longueur d'arc pourrait être interprétée comme secteur sous une courbe - cette intégrale, en effet - et lui être appliquée à la parabole . Dans le 1660 , Fermat a édité une théorie plus générale contenant le même résultat dans son curvarum de De linearum cum le geometrica de dissertatio de comparatione de rectis de lineis.

Le bâtiment sur ses travaux précédents avec des tangentes, Fermat a employé la courbe

$y\; =\; x^\; \{3/2\}\; \backslash ,$

d'à qui tangente au X = un ont eu une pente a^ du $de$

{3 \ plus de 2} {1/2}

ainsi la ligne de tangente aurait l'équation $de$

y = {3 \ plus de 2} {a^ {1/2}} (x - a) + f (a).

Après, il a augmenté le un par un peu au + &epsilon de ; , faisant à C. segment une approximation relativement bonne pour la longueur de la courbe à partir du A au D . Pour trouver la longueur du C. segment, il avait l'habitude le théorème pythagorien : le $de$

\ commencent {aligner} AC^2 ET {} = AB^2 + BC^2 \ \ et {} = \ varepsilon^2 + {9 \ plus de 4} a \ varepsilon^2 \ \ et {} = \ varepsilon^2 \ est parti (1 + {9 \ plus de 4} a \ droits) \ extrémité {aligner}

ce qui, une fois résolu, rapporte = de $AC\; de$

\ varepsilon \ racine carrée {1 + {9 \ plus de 4} a \}.

Afin de rapprocher la longueur, Fermat résumerait un ordre des segments courts.

Tubulures Riemannian (pseudo-) de généralisation

Laissé être $M\; \backslash ,$ une tubulure Riemannian (pseudo-) , $\backslash \; gamma\; de\; :\; \backslash \; à\; M$ une courbe dans le $M\; \backslash ,$ et $g\; \backslash ,\; le$ le tenseur métrique (pseudo-).

La longueur du $\backslash \; dugamma\backslash ,$ est par définition $l\; (\backslash \; gamma)\; =\; \backslash \; int\_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; racine\; carré\; \{\backslash \; P.\; g\; (\backslash \; point\; \backslash \; gamma\; (t),\; \backslash \}\; de\; point\; \backslash \; gamma\; (t))\; \backslash ,\; décollement\; \backslash ,$ là où $\backslash \; point\; \backslash \; gamma\; (t)\; \backslash \; dans\; T\_\; \{\backslash \; gamma\; (t)\}\; M\; \backslash ,$ représente le vecteur de tangente du $\backslash \; du\; gamma\; \backslash ,$ au $\backslash \; au\; gamma\; (t)\; \backslash ,\; du$. Le signe dans la racine carrée est choisi une fois pour une courbe donnée, pour s'assurer que la racine carrée est un vrai nombre. Le signe positif est choisi pour des courbes de spacelike ; dans une tubulure pseudo-Riemannian, le signe négatif peut être choisi pour des courbes de timelike.

Dans la théorie de la relativité , l'arc-longueur des courbes de timelike (le monde de raye ) est le le temps où approprié s'est écoulé suivant la ligne du monde.

Voir également

Courbe
Arc de (la géométrie)
Approximations intégrales * données géodésiques

.

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