Loi des tangentes

rigonometry En trigonométrie , la loi de des tangentes est un rapport au sujet du rapport entre les longueurs des trois côtés d'une triangle et les tangentes des angles.

Sur le schéma 1, le un , le b , et le c sont les longueurs des trois côtés de la triangle, et &alpha ; , &beta ; , et &gamma ; sont le d'angles vis-à-vis de ces trois côtés respectifs. La loi des tangentes déclare cela = de $\backslash \; frac\; de$

{a-b} {a+b} \ frac {\ tan} {\ tan}.

La loi des tangentes, bien que pas aussi généralement connu que la loi de des sinus ou la loi de des cosinus , est juste comme utile, et peut être employée en tous cas où vous connaissez deux côtés et un angle, ou deux angles et un côté. < ! --

Appliqué à de bonnes triangles

La situation est simplifiée pour de bonnes triangles.

Considérer la bonne triangle montrée. L'angle au C est un à angle droit et l'angle au A est &theta ; (thêta). Les longueurs des côtés de la triangle que nous dénoterons comme p , du q et du r . Nous pouvons rapporter le &theta ; aux longueurs des côtés comme suit :

Le sinus du &theta ; , écrit le péché (&theta ;), est défini comme rapport du latéral vis-à-vis du &theta ; à la hypoténuse, c'est péché (le &theta ;) = r / q .

Le cosinus du &theta ; , écrit cos (&theta ;), est le côté à côté de &theta ; au-dessus de la hypoténuse, c'est cos (le &theta ;) = p / q .

La tangente du &theta ; , écrit le tan (&theta ;), est le rapport du vis-à-vis les côtés adjacents, qui est bronzage (le &theta ;) = r / p . -->

Preuve

Pour prouver la loi des tangentes que nous pouvons commencer par la loi de des sinus : = de $\backslash \; frac\; de$

{a} {\ péché {\ alpha}} \ frac {b} {\ péché {\ bêta}}.

Le d'écriture q pour cette valeur commune, nous obtenons le $\backslash \; scriptstyle\; \{a\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; q\; \backslash \; péché\; \backslash \; alpha\}$, $\backslash \; scriptstyle\; \{b\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; q\; \backslash \; péché\; \backslash \; bêta\}$, ainsi $de$

\ frac {a-b} {a+b} = \ = de frac {q \ péché \ alpha - q \ péché \ bêta} {q \ péché \ alpha+q \ péché \ bêta} \ frac {\ - de péché \ alpha \ péché \ bêta} {\ péché \ alpha+ \ péché \ bêta}.

Using l'identité trigonométrique

$\backslash \; péché\; (x)\; +\; \backslash \; péché\; (y)\; =\; 2\; \backslash \; péché\; \backslash parti(\backslash \; frac\; \{x\; +\; y\}\; \{2\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; cos\; \backslash \; parti\; (\backslash \; frac\; \{de\; x/y\}\; \{2\}\; \backslash )\; droit\; \backslash \; ;$

pour le $\backslash \; scriptstyle\; \{x\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash \; alpha\}$ et le $\backslash \; scriptstyle\; \{y\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash \; P.\; \backslash \; bêta\}$ que nous obtenons = de $\backslash \; frac\; de$

{a-b} {a+b} \ frac { 2 \ péché \ parti (\ frac {\ alpha - \ bêta} {2} \) droit \ cos \ parti (\ frac {\ alpha+ \ bêta} {2} \ droits) } { 2 \ péché \ parti (\ frac {\ alpha + \ bêta} {2} \) droit \ cos \ parti (\ frac {\ alpha \ bêta} {2} \ droits)} = } de tan {\ alpha - \ bêta \ plus de 2} \ au-dessus de {\ tan {\ alpha + \ bêta \ plus de 2} .

Voir également

Loi de des sinus
Loi de des cosinus

.

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