Loi des sinus

rigonometry le de cet article est au sujet de la loi des sinus en trigonométrie. Pour la loi des sinus dans la physique, voir la loi de Snell de .

En trigonométrie , la loi de des sinus (ou loi de sinus de , formule de sinus) est un rapport au sujet des triangles arbitraires dans l'avion. Si les côtés de la triangle sont par , le b et le c et les angles vis-à-vis ces côtés sont le A , le B et le C , puis la loi des états des sinus : $de \ frac {a} {\ péché A} = \ = du frac {b} {\ péché B} \ frac {c} {\ péché C} = 2R$

là où le R est le rayon du Circumcircle de la triangle. Cette loi est utile en calculant les côtés restants d'une triangle si deux angles et un côté sont connus, un problème commun dans la technique de la triangulation . Elle peut également être employée quand deux côtés et un des angles non-inclus sont connus ; dans ce cas-ci, la formule peut donner deux valeurs possibles pour l'angle inclus. Quand ceci se produit, souvent seulement un résultat causera tous les angles être moins que 180° ; dans d'autres cas, il y a deux solutions valides à la triangle (voir le la section ambiguë du cas de cet article pour de plus amples informations).

Il peut montrer que le ${s (SA) (Sb) (Sc)}} \ \ et {} = \ frac {2abc} {\ racine carrée {(a^2+b^2+c^2)^2-2 (a^4+b^4+c^4)}}. \ extrémité {aligner}$

là où le A est le secteur de la triangle et du s est le Semiperimeter = de $s de \ frac {a+b+c} {2}.$

La deuxième égalité ci-dessus est essentiellement la formule du héron de .

Exemples

Voici un exemple de la façon résoudre un problème using la loi des sinus :

Donné : latéral = 20, latéral c = 14, et C d'angle = 60 degrés

Using la loi des sinus, nous savons cela : = de $\ tfrac {a} {\ péché A} \ tfrac {c} {\ péché C}.$

Insérant les valeurs données dans la formule, nous trouvons cela : = de $\ tfrac {20} {\ péché A} \ tfrac {14} {\ péché 60}.$

Ainsi, le A d'angle est égal à 91.16 degrés en prenant l'arc sinus.

Ou un autre exemple de la façon résoudre un problème using la loi des sinus :

Si deux côtés de la triangle sont égaux au R et à la longueur du troisième côté, la corde , est donnée comme 100 ' (30.48 m) et le du C d'angle vis-à-vis de à la corde est donnés en degrés , puis $\ angle A = \ = d'angle B \ tfrac {180-C} {2}$ et

${R \ au-dessus de \ péché A} = {\ mbox {} de corde \ au-dessus de \ péché C} \ texte {ou} {R \ au-dessus de \ péché B} = {\ mbox {} de corde \ au-dessus de \} de péché C \,$

< ! -- interligne supplémentaire pour la lisibilité --> $de {\ mbox {} de corde \, \ péché A \ au-dessus de \ péché C} =, de R \ texte {ou} {\ mbox {} de corde \ \ péché B \ au-dessus de \ péché C} = R.$

Le cas ambigu

Quand l'utilisation de la loi des sinus pour résoudre des triangles, dans des conditions spéciales là existe un cas ambigu où deux triangles séparées peuvent être construites (c., il y a deux solutions possibles différentes à la triangle).

Donné un ABC général triangle, les conditions suivantes devraient être remplies pour que le cas soit ambiguë :

la seule information connue au sujet de la triangle est le A d'angle et le de côtés un et le b , où le A d'angle n'est pas l'angle inclus des deux côtés (dans l'image ci-dessus il n'est pas, le C d'angle est l'angle inclus).
Le A d'angle est aigu (c.
Le latéral un est plus court que le latéral b , l'altitude d'une bonne triangle avec l'angle A.
Le B d'angle n'est pas un à angle droit (c., A de péché de > de b ).

Sont donnés tous les lieux ci-dessus vrai, le B d'angle peut être aigu ou obtus ; la signification, une du suivant est vraie : = de $B de \ arcsin {b \ péché A \ au-dessus d'a}$

OU $B= 180^ de \ - de circ \ arcsin {b \ péché A \ au-dessus d'a}$

Dérivation

style=" de

droite ; marge : 0 0 1em 1em ; " ; >

Faire à une triangle avec le de côtés un , le b , et le c , et pêche le A , le B , et le C . Tirer l'altitude du C d'angle au côté à travers le c ; par définition il divise la triangle originale en deux triangles à angle droit. Marquer la longueur de cette ligne le h .

Il peut observer cela :

${et} \ péché B \ frac {h} {a}.$

Par conséquent $h de = b \, (\ péché A) = a \, (\ péché B)$

et = de $\ frac de {a} {\ péché A} \ frac {b} {\ péché B}.$

Faisant la même chose avec la ligne tracée entre le A d'angle et le latéral un rapportera : = de $\ frac de {b} {\ péché B} \ frac {c} {\ péché C}.$

Pleine preuve de :

style=" de

marge : 0 0 1em 1em ; " ; >

Faire à un ABC triangle avec le de côtés un , le b , le c et l'angle du γ de au C . Faire un axe par le centre du b et un autre par le côté du c . Marquer le point d'intersection du S d'axe. Dessiner un de cercle k avec son centre dans le S avec le de rayon r = |SA| = |SB| = |Sc| (le Circumcircle ). Par la loi médiale d'angle, l'angle à S est le γ du 2*.

Ainsi, il peut observer cela : $= \ = de frac {\ frac {c} {2}} {r} \ frac {c} {2r},$

et puis $de \ frac {c} {\ péché \ gamma} = {2r}.$

Application de la permutation cyclique : $de {\ frac {a} {\ péché \ alpha}} = {\ frac {b} {\ péché \ bêta}} = {\ frac {c} {\ péché \ gamma}} = {2r}.$

Une loi des sinus pour le tetrahedra

Un corollaire de la loi des sinus est comme cité ci-dessus celui dans un tétraèdre avec le O , le A , le B , le C de sommets, nous ont $\ péché \ angle de OAB \ cdot \ péché \ angle OBC \ = de cdot \ péché \ angle OCA \ péché \ angle OAC \ cdot \ péché \ angle OCB \ cdot \ péché \ angle OBA. \,$

On peut regarder les deux côtés de cette identité comme correspondant aux orientations dans le sens des aiguilles d'une montre et dans le sens contraire des aiguilles d'une montre de la surface.

Mettant des quatre sommets l'uns des dans le rôle des rendements du O quatre telles identités, mais dans une certaine mesure tout au plus trois d'entre eux sont indépendantes : Si le " ; clockwise" ; des côtés de trois d'entre eux sont multipliés et le produit est impliqué pour être égal au produit du " ; counterclockwise" ; les côtés des mêmes trois identités, et alors des facteurs communs sont décommandés des deux côtés, le résultat est la quatrième identité. Une raison d'être intéressé à ce " ; independence" ; la relation est ceci : On le sait largement que trois angles sont les angles d'une certaine triangle si et seulement si leur somme est un demi-cercle. Quelle condition sur 12 pêche est nécessaire et suffisante pour que soient-ils les 12 angles d'un certain tétraèdre ? Clairement la somme des angles de n'importe quel côté du tétraèdre doit être un demi-cercle. Puisqu'il y a quatre telles triangles, il y a quatre telles contraintes sur des sommes d'angles, et le nombre de degrés de de liberté est de ce fait réduit de 12 à 8. Les quatre relations données par cette loi de sinus ramènent plus loin le nombre de degrés de liberté, le pas de 8 vers le bas à 4, mais seulement de 8 vers le bas à 5, puisque la quatrième contrainte n'est pas indépendant des trois premiers. Ainsi l'espace de toutes les formes de tetrahedra est 5 dimensionnels.

Voir également

triangulation
Loi de des cosinus
Loi de des tangentes
examinant
Gersonides

Random links: