Loi de parallélogramme

Dans les mathématiques , la forme la plus simple de la loi de parallélogramme de appartient à la géométrie élémentaire . Elle déclare que la somme des places des longueurs des quatre côtés d'un parallélogramme égale la somme des places des longueurs des deux diagonales. Avec la notation dans le diagramme du côté droit, ceci peut être énoncé As

$AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=AC^2+BD^2.$

Au cas où le parallélogramme serait un rectangle , les deux diagonales sont des longueurs égales et le rapport réduit au théorème pythagorien . Mais généralement la place de la longueur du ni l'un ni l'autre diagonal est la somme des places des longueurs de deux côtés.

La loi de parallélogramme dans les espaces de produit intérieur

Dans les espaces de produit intérieur de le rapport de la loi de parallélogramme réduit à l'identité algébrique

$2\|X \|^2+2 \|y \|^2= \|x+y \|^2+ \|de x/y \|^2$

là où

$\|X \|^2= \ langle X, X \ rangle.$

Les espaces de vecteur de Normed satisfaisant la loi de parallélogramme

La plupart de les vrais espaces de vecteur complexes de Normed de et n'ont pas les produits intérieurs, mais tous les espaces de vecteur normed ont des normes (par conséquent le nom), et on peut évaluer ainsi les expressions des deux côtés de " ; =" ; dans l'identité ci-dessus. Un fait remarquable est que le ci-dessus seulement de prises d'identité si la norme est une qui résulte comme d'habitude d'un produit intérieur. En plus, le produit intérieur produisant de la norme est unique, par suite de l'identité de polarisation de ; dans le vrai cas, il est donné près $de \ langle X, y \ rangle= {\|x+y \|^2- \|de x/y \|^2 \ plus de 4},$

ou, d'une manière equivalente, près

$\|x+y \|^2- \|X \|^2- \|y \|^2 \ au-dessus de 2$ ou de ${\|X \|^2+ \|y \|^2- \|de x/y \|^2 \ plus de 2}.$

Dans le cas complexe il est donné près $de$

\ langle X, y \ rangle= {\|x+y \|^2- \|de x/y \|^2 \ plus de 4} +i {\|ix-y \|^2- \|ix+y \|^2 \ plus de 4}.

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