Loi de gaz parfaits

La loi de gaz parfaits de est l'équation d'état d'un gaz idéal hypothétique, d'abord indiqué par le Benoît Paul Émile Clapeyron dans le 1834 . le

l'état d'une quantité de gaz est déterminé par sa pression, volume, et température selon l'équation : $\backslash \; picovolte\; =$ en temps quasi réel

là où le $de\; \backslash \; p$ est la pression absolue , le $de$
\ V est le volume du navire, le $de$
\ n de est la quantité de de la substance du gaz, le $de$
\ R est la constante de gaz idéal , le $de$
\ T est la température absolue .

La valeur appropriée de la constante de gaz idéal ( R ) dépend des unités étant employées. Dans des unités du SI , R = 8.314&thinsp ; 472  ; Mole de K ^-1 du ^-1 de J (ou d'une manière equivalente PA K^{&minus de m3 ; mol&minus 1 ; 1}). D'autres valeurs utiles pour le R sont : R de = 0.08205784 L R l'atmosphère K^-1 mol^-1 de = 62.3637 L R mmHg K^-1 mol^-1 de = 10.7316 Livre-moles du ^-1 du °R ^-1 de de livre par pouce carré de pi ³ de

La loi de gaz parfaits suit mathématiquement d'un traitement mécanique statistique du des particules identiques primitives (particules de point sans structure interne) qui n'agissent pas l'un sur l'autre, mais échange l'élan (et par conséquent l'énergie cinétique ) dans les collisions élastiques

Puisqu'il néglige la taille moléculaire et les attractions intermoléculaires, la loi de gaz parfaits est la plus précise pour les gaz mono-atomiques du aux températures et aux basses pressions. Évidemment la négligence de la taille moléculaire devient moins importante pour de plus grands volumes, c., pour de plus basses pressions. L'importance relative des attractions intermoléculaires diminue avec l'augmentation de l'énergie cinétique thermique c., avec l'augmentation des températures. Des équations d'état de plus sophistiquées , tel que l'équation de Van der Waals de , permettre les déviations de l'ideality provoqué par taille moléculaire et forces intermoléculaires à tenir compte.

Formes alternatives

Car la quantité de substance pourrait être indiquée dans la masse au lieu des taupes, parfois une forme alternative de la loi de gaz parfaits est utile. Le nombre de taupes ($n\; \backslash ,$) est égal à la masse ($\backslash ,\; m$) divisée par la masse molaire ($\backslash ,\; M$) de : $de\; n\; =\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{M\}\}$ Puis, remplaçant le $\backslash ,\; n$ donne : $de\; \backslash \; picovolte\; =\; \backslash \; frac\; \{m\}\; \{M\}\; droite$ d'où $de\; \backslash \; p\; =\; \backslash \; rho\; \backslash \; frac\; \{R\}\; \{M\}\; T$. Cette forme de la loi de gaz parfaits est particulièrement utile parce qu'elle lie la pression, le $de\; densité\; \backslash \; rho\; =\; le\; m/V$, et la température dans une formule unique indépendante de la quantité du gaz considéré. Dans la mécanique statistique l'équation moléculaire suivante est dérivée des premiers principes : $de\; \backslash \; picovolte\; =\; NkT.$ Ici le $\backslash ,\; k$ est le constant de Boltzmann de , et le $\backslash ,\; N$ contraste le nombre réel molécules, avec l'autre formulation, qui emploie le $\backslash ,\; n$, le nombre de taupes. Cette relation implique que le $N\; \backslash ,\; le\; k\; =\; le\; nR$, et l'uniformité de ce résultat avec l'expérience est un bon contrôle selon les principes de la mécanique statistique.

D'ici nous pouvons noter que pour une masse moyenne de particules des temps du $\backslash \; MU$ = de $de\; de$ m\_\; constant\; \backslash \; mathrm\; dela\; masse\; atomique\{u\}$(c.,la\; masseest\; le\; u\; du$ \backslash \; mu$)\; N\; \backslash \; frac\; \{m\}\; m\_\; \{\backslash \; MU\; \backslash \; mathrm\; \{u\}\}$ et depuis le $\backslash \; rho\; =\; le\; m/v$, nous constatons que la loi de gaz parfaits peut être récrite comme :

$p\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{V\}\; \backslash \; frac\; \{m\}\; m\_\; \{\backslash \; MU\; \backslash \; mathrm\; \{u\}\}\; kT\; =\; \backslash \; frac\; \{k\}\}\; de\; m\_\; \backslash \; mathrm\; \{\backslash \; MU\; \{u\}\; \backslash \; rho\; T.$

Dérivations

Empirique

La loi de gaz parfaits peut être dérivée de combiner deux lois empiriques de gaz de : la loi de gaz combinée par et la loi d'Avogadro de . La loi combinée de gaz déclare cela $de$

\ frac {picovolte} {T} = C

là où le C est une constante qui est directement proportionnelle à la quantité de gaz, le n (la loi d'Avogadro de ). Le facteur de proportionnalité est la constante de gaz universelle , le R , c.

Par conséquent le $de\; de\; loi\; de\; gaz\; parfaits\; picovolte\; =\; en\; temps\; quasi\; réel\; \backslash ,$

Théorique

La loi de gaz parfaits peut également être dérivée des premiers principes using la théorie de des gaz cinétique , en lesquels plusieurs prétentions de simplification sont faites, le chef parmi lesquelles sont que les molécules, ou les atomes, du gaz sont les masses de point, ne possédant la masse mais aucun volume significatif, et subir seulement les collisions élastiques les uns avec les autres et les côtés du récipient en lequel l'élan linéaire et l'énergie cinétique sont conservés.

Dérivation de la mécanique statistique

Laisser le q = ( q_x , q_y , q_z ) et le p = ( p_x , p_y , p_z ) dénotent le vecteur de position et le vecteur d'élan d'une particule d'un gaz idéal, respectivement, et laissent le F dénoter la force nette sur cette particule, puis d'un là où la première égalité est la loi de Newton deuxièmes de , et les deuxièmes équations de ligne Hamilton de d'utilisations et le théorème d'Equipartition de . L'addition au-dessus d'un système des particules du N rapporte

$3Nk\_\; \{B\}\; T\; =\; -\; \backslash \; biggl\; \backslash \; langle\; \backslash \; sum\_\; \{k=1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{\}\; de\; k\; \backslash \; biggr\; \backslash \; rangle.$

Par loi de Newton de la troisième et la prétention de gaz idéal, la force nette sur le système est la force appliquée par les murs de leur récipient, et cette force est donnée par le P de pression du gaz. Par conséquent

$-\; \backslash \; biggl\; \backslash \; langle\; \backslash \; sum\_\; \{k=1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; biggr\; \backslash \; rangle\; =\; P\; \backslash \; oint\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{surface\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; q\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{dS\},$

là où le dS est l'élément de secteur infinitésimal le long des murs du récipient. Puisque la divergence du q de vecteur de position est

$\backslash \; boldsymbol\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; q\_\; partiel\; \{x\}\}\; \{\backslash \; q\_\; partiel\; \{x\}\}\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; q\_\; partiel\; \{y\}\}\; \{\backslash \; q\_\; partiel\; \{y\}\}\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; q\_\; partiel\; \{z\}\}\; \{\backslash \; q\_\; partiel\; \{z\}\}\; =\; 3,$

le théorème de divergence de implique cela

$P\; \backslash \; oint\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{surface\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; q\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{dS\}\; =\; P\; \backslash \; int\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{volume\}\}\; \backslash \; (\backslash \; boldsymbol\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash \; droit)\; dV\; laissé\; =\; 3PV,$

là où le dV de est un volume infinitésimal dans le récipient et le V est tout le volume du récipient.

La mise de ces égalités rapporte ensemble

$3Nk\_\; \{B\}\; T\; =\; -\; \backslash \; biggl\; \backslash \; langle\; \backslash \; sum\_\; \{k=1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{\}\; de\; k\; \backslash \; biggr\; \backslash \; rangle\; =\; 3PV,$

ce qui implique immédiatement la loi de gaz parfaits pour des particules du N :

$Picovolte\; =\; Nk\_\; \{B\}\; T\; =,\; en\; temps\; quasi\; réel\; \backslash ,$

là où le n=N/N_A est le nombre de taupes du gaz et du R=N_Ak_B est la constante de gaz .

Voir également

Loi de gaz combinée par
Gaz idéal
Équation d'état
Équation de Van der Waals de
Le constant de Boltzmann de

.

Random links:

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