Loi de Biot-Savart

La loi de Biot-Savart de est une équation dans l'électromagnétisme qui décrit le B de vecteur du champ magnétique en termes de grandeur et la direction du courant électrique de source, la distance du courant électrique de source, et le facteur de pondération magnétique de perméabilité.

La signification de la loi de Biot-Savart de est que c'est une solution quadratique inverse à la loi d'Ampère de . C'est également une solution au A de courbure d'équation de vorticité = B , le c. , le A peut être considéré comme potentiel magnétique de vecteur du B . Il fournit donc la solution de champ du B aux équations de Maxwell beaucoup pendant que la force de Lorentz fournit la solution de champ du E .

Introduction

La loi de Biot-Savart est employée pour calculer le champ magnétique produit par un courant , c. un écoulement continuel de doucement des frais , par exemple par un fil, qui est constant à temps et dans le quel charge n'est ni s'accumulante ni épuisante à un point quelconque. L'équation est comme suit :

d \ mathbf {B} = \ frac} {\ mu_0} {4 \ pi \ frac {I d \ mathbf {l} \ périodes \ mathbf {\ chapeau r}} {r^2}

(dans des unités de SI ), où le de \ scriptstyle {I} est le courant, le de
\ scriptstyle {d \ mathbf {l}} est un vecteur, dont la grandeur est la longueur de l'élément différentiel du du fil, et dont la direction est la direction du courant conventionnel , de
\ scriptstyle {d \ mathbf {B}} est la contribution différentielle au champ magnétique résultant de cet élément différentiel de fil, de
\ scriptstyle {\ mu_0} est la constante magnétique , de
\ scriptstyle de {\ mathbf {\le chapeau r}} est le vecteur de déplacement d'unité de l'élément de fil au point auquel le champ est calculé, de
\ scriptstyle {r} est la distance de l'élément de fil au point auquel le champ est calculé, et le de
\ scriptstyle {\ temps} dénote le produit en travers .

Pour appliquer l'équation, vous choisissez un point dans l'espace auquel vous voulez calculer le champ magnétique. Soutenant que le point fixe, vous intègrent au-dessus du chemin des courants pour trouver tout le champ magnétique à ce point. L'application de cette loi se fonde implicitement sur le principe de superposition pour des champs magnétiques, c. le fait que le champ magnétique est une somme de vecteur du champ créé par chaque section infinitésimale du fil individuellement.

La formulation donnée au-dessus des travaux bien quand le courant peut être rapproché comme courant par un fil infini-étroit. Si l'écoulement du courant a une certaine épaisseur, la formulation appropriée de la loi de Biot-Savart (encore dans des unités de SI ) est :

d \ mathbf {B} = \ frac} {\ mu_0} {4 \ pi \ frac {(\ mathbf {} de J \, dV) \ périodes \ mathbf {\ chapeau r}} {r^2}

là où le de \ scriptstyle {dV} est l'élément différentiel du volume et du de
\ du scriptstyle {\ mathbf {J}} est le vecteur de la densité de courant en ce volume.

La loi de Biot-Savart est fondamentale à la magnétostatique , jouant un rôle semblable à la loi de coulomb dans l'électrostatique .

Formes

Généralités

Dans l'approximation magnétostatique , le champ magnétique peut être déterminé si le j de densité de courant est connu : de

\ mathbf {B} = dV de K_m \ international {\ frac {\ mathbf {j} \ périodes \ mathbf {\ chapeau r}} {r^2}}

là où le \ mathbf de {\ chapeau {r}} = {\ mathbf {} de r \ au-dessus de r} est le vecteur d'unité dans la direction du r . le de
\ dV = est l'élément différentiel du volume.

Courant uniforme constant

Dans le cas spécial d'un courant constant et uniforme I , le B de champ magnétique est \ mathbf de

B = K_m I \ international \ frac {d \ mathbf l \ périodes \ mathbf {\ chapeau r}} {r^2}

Charge de point à la vitesse constante

Dans le cas spécial d'un q de particules de point \ de mathbf chargés {} se déplaçant à un de vitesse du constant et non- \ à mathbf relativistes {v} , alors le champ magnétique est : de

\ mathbf {B} = K_m \ frac {q \ mathbf {v} \ périodes \ mathbf {\ chapeau {r}}} {r^2}

Cette équation s'appelle également parfois la loi de Biot-Savart, due à sa forme étroitement analogue du " ; standard" ; Loi de Biot-Savart donnée ci-dessus.

Balance microscopique

Sur l'échelle microscopique, la loi de Biot-Savart devient, = de \ mathbf de

{H} \ epsilon \ mathbf {v} \ périodes \ mathbf {E}

là où la solution au \ au mathbf {E} est la force de coulomb, et où, = de \ mathbf de

{B} \ MU \ mathbf {H}

et par conséquent,

\ mathbf {B} = \ mathbf {v} \ période \ frac {1} {c^2} \ mathbf {E}

Applications magnétiques de réponses

La loi de Biot-Savart peut être employée dans le calcul des réponses magnétiques même au niveau atomique ou moléculaire, par exemple les shieldings chimiques ou les susceptibilités magnétiques , à condition que la densité de courant puisse être obtenue à partir d'un calcul ou d'une théorie mécanique de quantum.

Applications< d'aérodynamique ! -- Cette section est liée de la vorticité -->

La loi de Biot-Savart est également employée pour calculer la vitesse induite par les lignes de vortex de dans la théorie aérodynamique du .

Dans l'application aérodynamique du , les rôles de la vorticité et le courant sont renversés comme une fois comparés à l'application magnétique.

En papier de Maxwell 1861 « sur les Lignes de la force physiques », le de force de champ magnétique \ mathbf {H} ont été directement égalisés avec la vorticité pure (rotation) de , tandis que le \ mathbf {B} étaient une vorticité pesée qui a été pesée pour la densité de la mer de vortex. Maxwell a considéré comme étant le μ magnétique de perméabilité une mesure de la densité de la mer de vortex. Par conséquent le rapport,

(1) courant d'induction magnétique de

= de \ mathbf {B} \ MU \ mathbf {H}

était essentiellement une analogie de rotation au rapport linéaire de courant électrique,

(2) courant de convection électrique de

= de \ mathbf {J} \ rho \ mathbf {v}

là où le ρ est densité de charge électrique. le \ mathbf {B} ont été vus comme genre de courant magnétique des vortexes alignés dans des leurs avions axiaux, avec le \ mathbf {H} étant la vitesse circulaire des vortexes.

L'équation de courant électrique peut être regardée comme courant convecteur de la charge électrique qui comporte le mouvement linéaire. Par analogie, l'équation magnétique est une rotation impliquante courante inductive. Il n'y a aucun mouvement linéaire dans le courant inductif le long de la direction du vecteur de \ mathbf {B} . Le courant inductif magnétique représente des lignes de la force. En particulier, il représente des lignes de la force quadratique inverse.

En aérodynamique les courants d'air induits forment les anneaux solénoïdaux autour d'un axe de vortex qui joue le rôle des jeux de ce courant électrique dans le magnétisme. Ceci met les courants d'air de l'aérodynamique dans le rôle équivalent du de vecteur d'induction magnétique \ du mathbf {B} dans l'électromagnétisme.

Dans l'électromagnétisme le \ mathbf {B} raye les anneaux solénoïdaux de forme autour du courant électrique de source, tandis qu'en aérodynamique, les courants d'air forment les anneaux solénoïdaux autour de l'axe de vortex de source.

Par conséquent dans l'électromagnétisme, le vortex joue le rôle du « effet » tandis qu'en aérodynamique, le vortex joue le rôle de because'. Pourtant quand nous regardons le \ mathbf {B} raye en isolation, nous voyons exactement le scénario aérodynamique dedans tellement comme que le \ mathbf {B} est l'axe de vortex et le \ mathbf {H} est la vitesse circulaire comme en papier de Maxwell 1861.

Pour une ligne de vortex de longueur infinie, la vitesse induite à un point est indiquée près = de v de

\ frac {\ gamma} {2 \ pi d}

là où le

Γ de est la force du d vortex est la distance perpendiculaire entre le point et la ligne de vortex.

C'est un cas de limitation de la formule pour des segments de vortex de longueur finie : = de v de

\ frac {\ gamma} {4 \ pi d} \ a laissé A + \ cos B \ right

là où le A et le B sont (signé) pêche entre la ligne et les deux fins du segment.

Voir également

Les gens

Jean-Baptiste Biot
Felix Savart
André-Marie Ampère
Commis Maxwell de James de

Électromagnétisme

Les équations de Maxwell de
La loi d'Ampère de
Magnétisme
La loi de coulomb

Aérodynamique

Vorticité
théorie de Mince-aile de

.

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