Logique d\'Infinitary

ceux peu familiers avec la logique mathématique ou le concept des nombres ordinaux sont conseillés de consulter ces articles d'abord.

Une logique infinitary est une logique qui permet les rapports infiniment longs et/ou les preuves infiniment longues . Les logiques d'Infinitary ont les propriétés différentes de ceux de la logique de premier ordre standard. En particulier, les logiques infinitary souvent ne sont pas le compact ou n'accomplissent pas. Les notions de la compacité et de la perfection qui sont équivalentes dans la logique finitary ne sont pas parfois aussi dans la logique infinitary. Ainsi pour des logiques infinitary les notions de la compacité forte et de la perfection forte sont définies. En cet article nous serons concernés par le Hilbert-type logiques infinitary, comme ceux-ci ont été intensivement étudiés et constituent les prolongements les plus francs de la logique finitary. Ce ne sont pas, cependant, les seules logiques infinitary autour.

Considérant si une certaine logique infinitary appelée le $\ Omega$ -logic est des promesses complètes de jeter la lumière sur l'hypothèse de continuum de .

Un mot sur la notation et l'axiome de du choix

Car nous présentons une langue avec des formules infiniment longues il n'est pas possible d'écrire des expressions car elles devraient être écrites. Pour venir à bout ce problème nous employons un certain nombre de convenances d'écriture qui à proprement parler ne sont pas une partie du langage formel que nous définissons. Nous employons le

\ cdots

pour indiquer une expression qui est infiniment longue. Là où il n'est pas clair la longueur de l'ordre est notée après. Là où cette notation devient ambiguë ou confondant nous employons des suffixes tels que le

\ lor_ {\ < de gamma \ delta} {A_ {\ gamma}}

pour indiquer une disjonction infinie au-dessus d'un ensemble de formules du

de cardinalité \ delta

. La même notation peut être appliquée au

de quantifiers par exemple \ au forall_ {\ à < de gamma \ delta} {V_ {\ gamma} :}

. Ceci est censé pour représenter un ordre infini des quantifiers pour chaque

V_ {\ gamma}

où < de

\ gamma \ delta

Toute l'utilisation de suffit et le $\ cdots$ ne sont pas une partie de langues infinitary formelles. Nous assumons l'axiome du choix (comme est souvent fait en discutant la logique infinitary) car c'est nécessaire pour avoir des lois sensibles de distributivity.

Définition de Hilbert-type logiques infinitary

De premier ordre infinitary logique $L_ {\ alpha, \ bêta} \, \ alpha \ dans le militaire de carrière, \ bêta = 0 \ ou \ \ Omega < \ bêta < \ alpha$ a le même ensemble de symboles qu'une logique finitary et peut employer toutes les règles pour la formation des formules d'une logique finitary ainsi que quelque additionnelle :
Si nous avons un ensemble de $V= de variables \ {V_ \ gamma | \ gamma< \ delta < \ bêta \}$ et un $puis \ forall V_0 : \ forall V_1 \ cdots (A_0)$ et $\ existe V_0 : \ existe V_1 \ cdots (A_0) que$ sont des formules (dans chaque cas l'ordre des quantifiers a le $de longueur \ delta$ ).
Si nous avons un ensemble de $puis (A_0 \ lor A_1 \ lor \ cdots)$ et $(A_0 \ et A_1 \ et \ cdots)$ sont des formules (dans chaque cas l'ordre a le $de longueur \ delta$ ).

Les concepts des variables attachées s'appliquent de la même manière aux phrases infinies. Noter que le nombre de parenthèses dans ces formules est toujours fini. Juste comme dans la logique finitary, une formule toute laquelle des variables sont attachée désigné sous le nom d'une phrase de .

Une théorie T dans le $L_ infinitary de logique {\ alpha, \ bêta}$ est un ensemble de rapports dans la logique. Une preuve dans la logique infinitary d'une théorie T est un ordre des rapports du $de longueur \ gamma$ qui obéit les conditions suivantes : Chaque rapport est un axiome logique, un élément de T, ou est déduit des rapports précédents using une règle d'inférence. Comme avant, toutes les règles d'inférence dans la logique finitary peuvent être employées, ainsi qu'additionnelle :

si nous avons un ensemble de $A= de rapports \ {A_ \ gamma | \ gamma < \ < de delta \ alpha \}$ qui se sont produits précédemment dans la preuve puis le $de rapport \ and_ {\ < de gamma \ delta} {A_ {\ gamma}}$ peuvent être impliqués.

Nous donnons seulement ces schémas logiques d'axiome spécifiques à la logique infinitary. Pour chaque $\ delta$ et $\ gamma$ tels que $0 < \ < d'alpha \ delta$ nous ont les axiomes logiques suivants :
$((\ and_ {\ epsilon < \ delta} {(A_ {\} de delta \ implique A_ {\ epsilon})}) \ implique (A_ {\} de delta \ implique \ and_ {\ < d'epsilon \ delta} {A_ {\ epsilon}}))$
Pour chaque $\ < de gamma \ delta$ que nous) avons $((\ and_ {\ < d'epsilon \ delta} {A_ {\ epsilon}} \ implique A_ {\ gamma})$
Lois du distributivity de Chang (pour chaque $\ gamma$ ) : $(\ lor_ {\ MU < \ gamma} {(\ and_ {\ < de delta \ gamma} {A_, {\ MU \ delta}})})$ où $\ forall \ MU : \ forall \ delta : \ existe \ < d'epsilon \ gamma : A_, {\ MU \ delta} = A_ {\ epsilon}$ et $\ forall g \ dans \ gamma^ {\ gamma} : \ existe \ < d'epsilon \ gamma : \ {A_ {\ epsilon}, \ neg A_ {\} d'epsilon \} \ subseteq \ {A_ {\ MU, g (\ MU)} : \ MU < \ gamma \}$
Pour < de $\ gamma \ alpha$ nous prenons le $((\ and_ {\ MU < \ gamma} {(\ lor_ {\ < de delta \ gamma} {A_, {\ MU \ delta}})}) \ implique (\ lor_ {\ < d'epsilon \ gamma^ {\ gamma}} {(\ and_ {\ MU < \ gamma} {A_, {\ MU \ gamma_ {\ epsilon}})}}))$ où le $\ gamma_ {\ epsilon}$ est une commande bonne du $\ du gamma^ {\ gamma}$ Les deux derniers schémas d'axiome exigent l'axiome du choix parce que certains ensembles doivent être le ordonnable bon. Le dernier schéma d'axiome est à proprement parler inutile car les lois du distributivity de Chang l'impliquent, toutefois il est inclus comme manière normale de permettre des weakenings normaux à la logique.

Perfection, compacité et perfection forte

Une théorie est placée des rapports. La vérité des rapports dans les modèles sont définies par récursion et seront conformes à la définition pour la logique finitary où tous les deux sont définis. Donné une théorie T un rapport serait valide pour la théorie T s'il est vrai dans tous les modèles de T.

Un $L_ de logique {\ alpha, \ bêta}$ est complet si pour chaque phrase S valide dans chaque modèle là existe une preuve de S. Il est fortement complet si pour n'importe quelle théorie T pour chaque phrase S valide dans T il y a une preuve de S de T. Une logique infinitary peut être complète sans être fortement complète.

Une logique est compacte si pour chaque théorie T du $de cardinalité \ alpha$ si tous les sous-ensembles S de T ont des modèles puis T a un modèle. Une logique est fortement compacte si pour chaque théorie T si tous les sous-ensembles S de T, où S a le cardinality $< \ alpha$ , ont des modèles puis T a un modèle. Si une logique est fortement compacte, et accomplissent, alors elle est fortement complète.

Le $\ kappa cardinaux \ quantité nette de substance explosive \ omega$ est le faiblement compact si le $L_ {\, de kappa \ kappa}$ est compact et le $\ kappa$ est le fortement compact si le $L_ {\, de kappa \ kappa}$ est fortement compact.

Concepts exprimables dans la logique infinitary

En langue de théorie des ensembles le rapport suivant exprime la base :

de  \ forall_ {\ < de gamma \ Omega} {V_ {\ gamma} :} \ neg \ and_ {\ gamma < \ Omega} {V_ {\ gamma +} \ dans V_ {\ gamma}}. \,

À la différence de l'axiome de la base, ce rapport n'admet aucune interprétation non standard. Le concept du foundedness bon peut seulement être exprimé en logique qui permet infiniment beaucoup de quantifiers dans un rapport individuel. Par conséquent beaucoup de théories, y compris le Peano arithmétique, qui ne peut pas correctement axiomatised dans la logique finitary, peuvent être dans une logique infinitary appropriée. D'autres exemples incluent les théories des champs Non-d'Archimède et les groupes Torsion-libres ces trois théories peuvent être définis sans utilisation de quantification infinie ; seulement les jonctions infinies sont nécessaires.

Accomplir les logiques infinitary

Deux logiques infinitary se tiennent dehors dans leur perfection. Ce sont le

L_ {\, d'Omega \ Omega}

et le

L_ {\ omega_1, \ Omega}

. L'ancien est logique de premier ordre finitary standard et ce dernier est une logique infinitary qui permet seulement des rapports de taille comptable.

le $L_ {\, d'Omega \ Omega}$ est également fortement complet, compact et fortement contrat.

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