Linéarisation

Dans les mathématiques et ses applications, la linéarisation se rapporte à trouver l'approximation linéaire à une fonction à un point donné. Dans l'étude des systèmes dynamiques la linéarisation est une méthode pour évaluer la stabilité locale d'un point d'équilibre d'un système des équations non linéaire du que cette méthode est employée dans les domaines tels que la technologie , de la physique , des sciences économiques , et de l'écologie .

Linéarisation d'une fonction

Les linéarisations d'une fonction sont les lignes ; ceux qui sont habituellement employés aux fins du calcul. La linéarisation est une méthode efficace employée pour rapprocher le rendement de la fonction à n'importe quel $x\; =\; à\; a$ basés sur la pente de valeur et de d'une fonction $y\; =\; f\; (x)$ au $x\; =\; au\; b$, étant donné que f (x) est continu sur le $b$ (ou le $a$) et que $a$ est proche de $b$. Dans, court, la linéarisation rapproche le rendement d'une fonction près du $x\; =\; de\; l\text{'}a$.

Par exemple, vous pourriez connaître ce $\backslash \; racine\; carrée\; \{4\}\; =\; 2$. Cependant, sans calculatrice, quelle serait une bonne approximation de 4.001} = du $\backslash racine\; carrée\{\backslash \; racine\; carrée\; \{4\; +\; .001\}$ ?

Pour toute fonction donnée $y\; =\; f\; (x)$, $f\; (x)$ peut être rapproché s'il est près d'un point continu connu. La condition requise la plus fondamentale est celle, où $L\_a\; (x)$ est la linéarisation de f (x) à x = a, $L\; (a)\; =\; f\; (a)$. La forme de point-pente de d'une équation forme une équation d'une ligne, donnée un $de\; point\; (H,\; K)$ et pente $M$. La forme générale de cette équation est : - K = M (x - H) $y.$

Using le $de\; point\; (x,\; f\; (x))$, $L\_a\; (x)$ devient $y\; =\; f\; (a)\; +\; M\; (x\; -\; a)$. Puisque les fonctions continues sont le localement linéaire, la meilleure pente à substituer dedans serait la pente de la ligne la tangente au $f\; (x)$ au $x\; =\; à\; l\text{'}a$.

Tandis que le concept des linéarités locales applique les la plupart aux points que le clôturent arbitrairement au $x\; =\; à\; l\text{'}a$, ceux fonctionnent relativement étroitement relativement bien pour des approximations linéaires. Après tous, une linéarisation est seulement une approximation. La pente $M$ devrait être, le plus exactement, la pente de la ligne de tangente au $x\; =\; à\; l\text{'}a$.

Visuellement, le diagramme de accompagnement montre la ligne de tangente du $f\; (x)$ au X. Au $f\; (x+h)$, où $h$ est n'importe quelle petite valeur positive ou négative, f (x+h) est presque tout à fait la valeur de la ligne de tangente au $de\; point\; (x+h,\; L\; (x+h))$.

L'équation finale pour la linéarisation d'une fonction au $x\; =\; à\; l\text{'}a$ est :

$y\; =\; f\; (a)\; +\; f\text{'}(a)\; (x\; -\; a)\; \backslash ,$

Pour le $x\; =\; l\text{'}a$, $f\; (a)$ est le $f\; (x)$ à $a$. Le dérivé du $f\; (x)$ est le $f\text{'}(x)$, et la pente du $f\; (x)$ à $a$ est le $f\text{'}(a)$.

Exemple

Pour trouver le $\backslash \; racine\; carrée\; \{4.001\}$, nous pouvons employer le fait ce $\backslash \; racine\; carrée\; \{4\}\; =\; 2$. La linéarisation du $f\; (x)\; =\; \backslash racinecarrée\; \{x\}$ au $x\; =\; à\; l\text{'}a$ est + $y\; =\; \backslash \; racine\; carrée\; \{a\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; racine\; carrée\; \{a\}\}\; (x\; -\; a)$, parce que = de $f\text{'}(de\; fonction\; x)\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; racine\; carrée\; \{x\}\}$ définit la pente du $f\; de\; fonction\; (x)\; =\; \backslash \; racine\; carrée\; \{x\}$ à $x$. Branchant dans le $a\; =\; le\; 4$, la linéarisation à 4 est = 2 + $y\; \backslash \; frac\; \{x-4\}\; \{4\}$. Dans ce cas-ci le $x\; =\; le\; 4.001$, ainsi le $\backslash \; racine\; carrée\; \{4.001\}$ est approximativement $2\; +\; \backslash \; frac\; \{4.\; Lavaleur\; vraieest\; proche\; de\; 2.00024998,\; ainsi\; l\text{'}approximation\; de\; linéarisation\; est\; étonnamment\; précise.$

Utilisations de la linéarisation

La linéarisation permet pour utiliser des outils pour étudier les systèmes linéaires pour analyser le comportement d'une fonction non linéaire près d'un point donné. La linéarisation d'une fonction est la première limite d'ordre de son expansion de Taylor de autour du point d'intérêt. Pour un système défini par l'équation $de$

\ frac {d \ "BOLD" {x}} {décollement} = \ "BOLD" {F} (\ "BOLD" {x}, t),

le système linéarisé peut être écrit As $de$

\ frac {d \ "BOLD" {x}} {décollement} = D \ "BOLD" {F} (\ "BOLD" {x_0}, t) \ cdot (\ "BOLD" {x} - \ "BOLD" {x_0})

là où le $\backslash \; \{x\_0\}$ "BOLD" est le point d'intérêt et $D\; \backslash \; "BOLD"\; \{F\}\; (\backslash \; "BOLD"\; \{x\_0\})$ est le Jacobian du $\backslash \; "BOLD"\; \{F\}\; (\backslash \; "BOLD"\; \{x\})$ évalué au $\backslash \; \{x\_0\}\; au$ "BOLD".

Dans l'analyse de la stabilité , on peut employer les valeurs propres de la matrice de Jacobian évaluée à un point d'équilibre pour déterminer la nature de cet équilibre. Si toutes les valeurs propres sont le positif, l'équilibre est instable ; si elles sont toutes négatives l'équilibre est stable ; et si les valeurs sont des signes mélangés, l'équilibre est un point de selle . Toutes les valeurs propres complexes du apparaîtront dans des paires du conjugé de complexe de et indiqueront le en spirale (ou la circulaire si les vrais composants du sont zéro autour de l'équilibre.

Voir également

Matrice de rigidité de tangente de
Dérivés de stabilité de
Théorème de linéarisation de

Systèmes dynamiques]]

.

Random links:

Se balader (voyage) | Le mirage | Gorge de marbre | Château de Pendennis | Audi S3 | Linearización

© 2007-2009 encyclopediefrancaise.com; le texte de cet article est distribué sous les termes de GFDL; en.wikipedia.org