Limite inverse

Nous définissons la limite inverse du système inverse (ij de de _{de i} , de f de _{de A ) comme sous-groupe particulier du produit direct du i} de <sub>du A :

$\backslash \; varprojlim\; A\_i\; =\; \backslash \; grand\; \backslash \; \{)\; (d\text{'}a\_i\; \backslash \; dans\; \backslash \; prod\_\; \{I\; \backslash \; dedans\; I\}\; A\_i\; \backslash \; ;\; \backslash \; Grand|\backslash \; ;\; a\_i\; =\; f\_\; \{)\; d\text{'}ij\}\; (a\_j\; \backslash \; mbox\; \{pour\; tous\}\; I\; \backslash \; leq\; j\; \backslash \; grand\; \backslash \}.$ La limite inverse, le A , vient équipé du &pi normal des projections de ; i</sub> de _{: &rarr du A ; i} de _{du A qui sélectionnent le composant de Th du i du produit direct. La limite inverse et les projections normales satisfont une propriété universelle décrite dans la prochaine section.}

Cette même construction peut être effectuée si le i de _{du A sont les anneaux des ensembles , les modules (au-dessus d'un anneau fixe), les algèbres (au-dessus d'un champ fixe), etc., et le Homomorphisms sont des homomorphisms dans la catégorie correspondante . La limite inverse appartiendra également à cette catégorie.}

Définition générale

La limite inverse peut être définie abstrait dans une catégorie arbitraire au moyen d'une propriété universelle . Laissé (ij de de _{de i} , de f de _{de X ) être un système inverse des objets et du Morphisms dans un C (la même définition de catégorie comme ci-dessus). La limite inverse de ce système est un d'objet X dans le C ainsi que le &pi de morphisms ; i} de _{: &rarr du X ; &pi satisfying du i} de _{du X (appelé les projections de ) ; i de = &pi de l'ij} o de de _{du f ; j} de _{. Les paires ( X , &pi ; le i} de _{) doit être universel dans le sens qui pour toutes autres telles paires ( Y , &psi ; le i} de _{) existe là un unique u de morphism : &rarr du Y ; X faisant tout le " ; obvious" ; identités vraies ; c., le diagramme}

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le de nécessité permutent pour tout le i , le j . La limite inverse est souvent = dénoté de $X\; de\; \backslash \; varprojlim\; X\_i$ le système inverse (ij de de _{de i} , de f de _{de X ) étant compris.}

À la différence de pour les objets algébriques, la limite inverse ne pourrait pas exister dans une catégorie arbitraire. Si elle fait, cependant, elle est unique dans un sens fort : donné tout autre &prime du X de limite inverse ; là existe un &prime unique du X de l'isomorphisme du ; &rarr ; Le X permutant avec la projection trace.

Nous notons qu'un système inverse dans un C de catégorie admet qu'une description alternative en termes de Functors n'importe quel réglé partiellement commandé I peut être considérée comme petite catégorie où les morphisms se composent du &rarr du i de flèches ; &le du i du IFF du j ; j . Un système inverse est alors juste un &rarr du I du functor de Contravariant de ; C .

Exemples

l'anneau du '' p '' - les nombres entiers adic est la limite inverse du Z d'anneaux/du du n ^{du p Z (voir l'arithmétique modulaire ) avec l'ensemble d'index étant les nombres normaux avec l'ordre habituel, et les morphisms étant " ; prendre le remainder" ;. La topologie normale sur le p - les nombres entiers adic est identiques que celui décrit ici.
les groupes Pro-finis sont définis en tant que limites inverses des groupes finis (discrets).
Laisser le I d'ensemble d'index d'un système inverse (ij de de _{de i} , de f de _{de X ) ont un m du plus grand élément . Puis le &pi normal de projection ; m} de _{: &rarr du X ; Le m} de _{du X est un isomorphisme.
Des limites inverses dans la catégorie de des espaces topologiques sont données en plaçant la topologie d'initiale de sur la limite inverse placer-théorétique fondamentale. Ceci est connu comme topologie de limite de .
Laissé ( I , =) être l'ordre insignifiant (non dirigé). La limite inverse de n'importe quel système inverse correspondant est juste le produit .
Laisser le I se composer du i de trois éléments, du j , et du k avec le &le du i ; &le du j et du i ; k (non dirigé). La limite inverse de n'importe quel système inverse correspondant est le retrait .}}