Limite directe

L'ensemble étant à la base de la limite directe , de A, du système direct ( de _{i de de A,} d'ij de _{f) est défini comme union de disjonction du modulo du} du <sub>i de de A une relation d'équivalence de certain :

$\backslash \; varinjlim\; A\_i\; =\; \backslash \; parti\; (\backslash \; coprod\_i\; A\_i\; \backslash \; droit)\; \backslash \; orge\; à\; quatre\; rangs\; \backslash \; \{x\_i\; \backslash \; sim\; x\_j\; \backslash \; mi\; \backslash \; mbox\; \{où\}\; x\_i\; \backslash \; dans\; A\_i\; \backslash \; mbox\; \{et\}\; x\_j\; \backslash \; dans\; A\_j\; \backslash \; mbox\; \{,\; là\; existe\}\; k\; \backslash \; dedans\; I\; \backslash \; mbox\; \{tel\; que\}\; f\_\; \{ik\}\; (x\_i)\; =\; f\_\; \{jk\})\; (de\; x\_j\; \backslash \}.$ Heuristically, deux éléments dans l'union de disjonction sont équivalent si et seulement si ils " ; equal" par la suite devenu ; dans le système direct. On obtient naturellement à partir de ce canonique</sub> du φ _{i de de morphisms de la définition : du → A du} du _{i de de A envoyant chaque élément à sa classe d'équivalence. Les opérations algébriques sur le de A sont définies par l'intermédiaire de ces cartes de la façon évidente.}

Définition générale

La limite directe peut être définie abstrait dans une catégorie arbitraire au moyen d'une propriété universelle . Laissé (ij de de _{de i} , de f de _{de X ) être un système direct des objets et des morphisms dans un C (la même définition de catégorie comme ci-dessus). La limite directe de ce système est un d'objet X dans le C ainsi que le i} de φ _{de morphisms : satisfying i de φ du X de → du i de du X = ij} de de _{du f du j} O de φ_{. Les paires ( X , i} de φ_{) doivent être universelles dans le sens que pour n'importe quelles autres telles paires ( Y , i} de ψ_{) là existe un unique u de morphism : Y de → du X faisant tout le " ; obvious" ; identités vraies ; c., le diagramme}

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le de nécessité permutent pour tout le i , le j . La limite directe est souvent = dénoté de $X\; de\; \backslash \; varinjlim\; X\_i$ le système direct (ij de de _{de i} , de f de _{de X ) étant compris.}

À la différence de pour les objets algébriques, la limite directe peut ne pas exister dans une catégorie arbitraire. Si elle fait, cependant, elle est unique dans un sens fort : donné un autre &prime du X de limite directe ; là existe un &prime unique du X de l'isomorphisme du ; X de → permutant avec les morphisms canoniques.

Nous notons qu'un système direct dans un C de catégorie admet qu'une description alternative en termes de Functors n'importe quel dirigé I de poset peut être considérée comme petite catégorie où les morphisms se composent du du j de → du i de flèches si et seulement si le j de ≤ du i de . Un système direct est alors juste un C de → du I du functor de covariant de .

Exemples

a laissé le I être ensemble dirigé avec un m du plus grand élément . La limite directe de n'importe quel système direct correspondant est isomorphe au m de _{du X et au canonique m} de φ _{de morphism : Le X de → du m} de _{du X est un isomorphisme.
Laisser le p être un nombre premier . Considérer le système direct composé de Z de groupes/de Z du n ^{du p et de Z de homomorphisms/de Z de → du Z du n du p /de Z du n +1 du p qui sont induits par multiplication par le p . La limite directe de ce système se compose de toutes les racines de du n} th de ^{du p de l'unité , et s'appelle le '' p '' ∞-group .
Laisser le F être un C - la gerbe évaluée sur un X de l'espace topologique . Fixer un de point X dans le X . Les voisinages ouverts de la forme du X qu'un poset dirigé a commandée par l'inclusion ( V de ≤ de U si et seulement si le U contient le V ). Le système direct correspondant est ( F ( U ), U de de r , V ) où le r est la carte de restriction. La limite directe de ce système s'appelle la tige de du F au X , le dénoté X}} de _{du F . Le canonique X} de _{du F de → du F ( U ) de morphisms s'appellent les germes de .
Des limites directes dans la catégorie de des espaces topologiques sont données en plaçant la topologie finale sur la limite directe placer-théorétique fondamentale.
Une collection de sous-ensembles $M\_i$ d'un ensemble $M$ peut être partiellement commandée par l'inclusion. Sa limite est le $des\; syndicats\; \backslash \; bigcup\; M\_i$.}