Limite de singleton

Le singleton attaché de (appelé après que singleton de RC) est une limite relativement brute sur la taille d'un code $C$ de de la longueur $n$ , la taille $r$ et la distance minimum $d$ de Hamming de .

Laisser le $A_q (n, d)$ dénotent la taille possible maximum d'un code q-ary avec la longueur $n$ (un code q-ary est un code au-dessus du champ des éléments de $q$ ). Laisser la distance minimum de Hamming entre deux codewords être $d$ , c. $\ textrm D_H (W, w') \ GE d$ pour tous mots distincts $w$ et $w'$ dans le code.

Puis : $A_q de (n, d) \ q^ de leq {n-d+1}$

Preuve

Observer d'abord que la taille maximum $r$ d'un code q-ary de la longueur $n$ est $q^n$ puisque chaque composant d'un codeword donné peut prendre une de différentes valeurs de $q$ indépendamment de tous autres composants.

Laisser $C$ être un code q-ary. Puis clairement tout le $c de codewords \ dans C$ sont distinct. Si nous supprimons les premiers composants de $d-1$ de chaque codeword, alors chaque codeword en résultant doit encore être distinct puisque tous les codewords ont la distance au moins $d$ de Hamming de entre eux. Ainsi la taille $r$ du code est inchangée.

Le nouveau code a la longueur $n- de (d-1) =n-d+1$

et a ainsi la taille possible maximum $q^ de {n-d+1}$

Par conséquent le code d'original partage la même limite sur sa taille : $A_q de (n, d) \ q^ de leq {n-d+1}$

Voir également

Gilbert-Varshamov attaché de

Plotkin attaché
Hamming attaché
Le Johnson bondissent

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