Limite de Chernoff

Dans la théorie des probabilités , le Chernoff attaché, baptisé du nom de Herman Chernoff , donne à un la limite inférieure pour le succès de l'accord de majorité de pour le indépendant, les événements également probables du n de que la limite de Chernoff est un cas spécial de l'inégalité de Chernoff de .

Un exemple simple de motivation est de considérer une pièce de monnaie décentrée. Un côté est pour être soulevé que l'autre, mais vous ne savez pas ce qu'et voudrait découvrir. La solution évidente est de le renverser beaucoup de fois et de choisir alors le côté qui est soulevé plus. Mais combien de fois devez-vous la renverser pour être confiant que vous ayez choisi correctement ?

Laisser généralement le E ₁,…, le n de _{du E soit des événements indépendants chacun qui a le p de probabilité > 1/2. Puis, la limite de Chernoff indique que la probabilité de l'occurrence simultanée de plus que le n /2 du k} de _{du E d'événements dépasse $de 1 - \ exp \ ^2 \ droit laissés (- 2n \ parti ({- de p \ frac {1} {2}} \ droits)).$}

Dans notre exemple, supposer que nous voulons nous assurer que nous choisissons le mauvais côté avec tout au plus le petit &epsilon de de probabilité ; . Puis, réarrangeant ce qui précède, nous devons avoir :

$n \ geq \ frac {1} {(} de p -1/2)^2 \ ln \ frac {1} {\ racine carrée {\ varepsilon}}.$

Si la pièce de monnaie est sensiblement décentrée, dire en montant d'un côté 60% du temps, alors nous peut deviner que côté avec l'exactitude de 95% après 150 chiquenaudes. Si elle est 90% partial, alors les seules 10 chiquenaudes suffit. Si la pièce de monnaie est seulement polarisée une quantité minuscule, comme la plupart des vraies pièces de monnaie sont, le nombre de chiquenaudes nécessaires devient beaucoup plus grand.

Plus pratiquement, la limite de Chernoff est employée dans les algorithmes randomisés par (ou dans des dispositifs informatiques tels qu'ordinateurs de Quantum de pour déterminer une limite sur le nombre de courses nécessaires pour déterminer une valeur par accord de majorité, jusqu'à une probabilité spécifique. Par exemple, supposer les calculs du A un d'algorithme (ou machine) la valeur correcte d'un de fonction f avec le p de probabilité au moins > 1/2. Si nous choisissons le n satisfaisant l'inégalité ci-dessus, la probabilité qu'une majorité existe et est égale à la valeur correcte est au moins 1 &minus ; &epsilon ; , qui pour l'assez petit &epsilon ; est tout à fait fiable. Si le p est une constante, &epsilon ; diminue exponentiellement avec le croissant n , qui est ce qui rend des algorithmes dans le BPP de classe de complexité efficaces.

Noter que si le p est très proche d'un demi-, le nécessaire n peut devenir très grand. Par exemple, si le p = 1/2 + 1/2^{le m}, car il pourrait être dans quelques algorithmes du pp , le résultat est que le n est lié ci-dessous par une fonction exponentielle dans le m :

$n \ geq 2^ {} de 2m \ ln \ frac {1} {\ racine carrée {\ varepsilon}}.$

Voir également

Le Chernoff bondit

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