Limite d\'un ordre

La limite de d'un ordre est l'un des concepts les plus anciens dans l'analyse mathématique . Elle fournit une définition rigoureuse de l'idée d'un ordre convergeant vers un point appelé la limite.

Intuitivement, supposer que nous avons un ordre de de des points (c. un ensemble infini des points marqués using les nombres normaux dans une certaine sorte d'objet mathématique (par exemple les vrais nombres ou d'un espace de vecteur ) qui a un concept de la proximité (tel que le " ; tous les points sur une distance donnée d'un point" fixe ;). Un L de point est la limite de l'ordre si pour n'importe quelle proximité prescribed, tout sauf un nombre fini de points dans l'ordre sont celui près au L . Ceci peut être visualisé comme ensemble de sphères de taille diminuant à zéro, à tous avec le même L de centre, et pour des n'importe quelles de ces sphères, seulement un nombre fini de points dans l'ordre étant en dehors de la sphère.

Définition formelle

Pour un ordre de

de points \ {x_n|n \ dans \ mathbb {} de N \} \ ;

dans un de l'espace métrique M avec le d de fonction de distance (tel qu'un ordre des nombres complexes des vrais nombres de nombres raisonnables se dirige dans un espace de Normed , etc.) :

si $L \ en M \ ;$ que nous disons que le L est la limite de l'ordre et écrivons = de $de de L \ x_n$ du lim_ {n \ \ infty} $\ Longleftrightarrow \ forall de de \ epsilon>0 \ ; , \ existe N \ dans \ mathbb {N} : n>N \ rightarrow d (x_n, L)< \ epsilon. : si et seulement si pour chaque de vrai nombre \ epsilon>0 \ ;, existe là un N du nombre normal tels que pour chaque n>N \ ;, nous avons le d (x_n, L)< \ epsilon. \ ;$

comme généralisation de ceci, pour un ordre de $de points \ {x_n|n \ dans \ mathbb {} de N \} \ ;$ dans un T de l'espace topologique :

si $L \ dans T \ ;$ que nous disons que le L est par limite de cet ordre et écrivons $(L) \ ; \ existe N \ dans \ mathbb {N} : \ forall n > N \ ; x_n \ dans U (L)$

c. : si et seulement si pour chaque S du voisinage du L il y a un N de nombre normal tels que $x_n \ dans S \ ;$ pour tout le $n>N. \ ;$

Si un ordre a une limite, nous disons que l'ordre est le convergent, et que le d'ordre converge à la limite. Autrement, l'ordre est le divergent (voir également l'oscillation ).

Un ordre de nulle de est un ordre qui converge à 0.

Commentaires

La définition signifie que par la suite tous les éléments de l'ordre obtiennent aussi étroitement que nous voulons à la limite. (La condition que les éléments deviennent arbitrairement près de tous les éléments suivants fait le pas , impliquent généralement l'ordre a une limite. Voir l'ordre de Cauchy ).

Un ordre de vrais nombres peut tendre à $+ \ à infty$ ou le $- \ infty$ , comparent. Quoique ceci puisse être écrit sous la forme = de x_n de $\ lim_ de {n \ \ infty} \ infty$ et x_n de $\ lim_ {n \ \ infty} = - \ infty$

un tel ordre s'appelle divergent, à moins que nous le considérions explicitement un ordre dans le système de vraie numération prolongé par Affinely ou (dans le premier cas seulement) ligne projective la vraie. Dans les caisses de ce dernier l'ordre a une limite (dans l'espace lui-même), ainsi pourrait s'appeler le convergent, mais quand en utilisant ce terme ici, le soin devrait être pris que ceci ne cause pas la confusion.

En outre, un ordre peut, dans un espace topologique général, avoir plusieurs différentes limites, mais un ordre convergent a une limite unique si le T est un espace de Hausdorff , par exemple ligne (prolongée) , le plan complexe , leurs sous-ensembles ( R , Q , Z de la vraie de de …) et produits cartésiens ( R ⁿ de …).

La limite d'un ordre de $de points \ {x_n|n \ dans \ mathbb {} de N \} \ ;$ dans un T de l'espace topologique est un cas spécial de : domaine est $\ mathbb {N}$ dans l'espace $\ mathbb {} de N \ tasse \ lbrace + \ infty \ rbrace$ avec la topologie induite par du système de vraie numération prolongé par Affinely , la gamme est le T , et le n d'argument de fonction tend à +∞, qui dans cet espace est un point de limite du $\ du mathbb {N}$ .

Exemples

L'ordre 1, -1, 1, -1, 1,… est divergent.
L'ordre 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16,… converge avec la limite 1. C'est un exemple d'une série infinie .
Si le un est un vrai nombre avec la valeur absolue | un | < 1, alors le aⁿ d'ordre a la limite 0. Si 0 < un &le de ; 1, alors le d'ordre un n de ^{1/a la limite 1. En outre :
$\ lim_ {n \ \} infty \ frac {1} {n^p} = 0 \ hbox {si} p > 0$

a^n de $\ lim_ {n \ \ infty} = 0 \ hbox {si} |a| < 1$
n^ de $\ lim_ {n \ \ infty} {\ frac {1} {n}} = 1$
a^ de $\ lim_ {n \ \ infty} {\ frac {1} {n}} = 1 \ hbox {si} a>0$

Propriétés
Considérer la fonction suivante : f ( X ) = x_n si < du n-1 ; &le du X ; n . Alors la limite de l'ordre du x_n est juste la limite du f ( X ) à l'infini. Un f de la fonction , défini sur un espace Premier-comptable , est le continu si et seulement s'il est compatible avec des limites dans le ce ( f ( x_n )) converge au f ( L ) étant donné que ( x_n ) converge au L , $de du c. \ lim_ {n \ \ infty} x_n=L$ implique le =f de $\ lim_ {n \ \ infty} f (x_n) (L)$ Noter que cette équivalence fait la prise du pas en général pour les espaces qui ne sont pas premier-comptables.
Comparer la propriété de base (ou la définition) : le f de est continu au X si et seulement si $\ lim_ {x \ à L} f (x)=f (L)$
Un Subsequence l'ordre ( x_n ) est un ordre de la forme ( de _{de X un ( n )}) où le un ( n ) sont des nombres normaux avec le par ( n ) < un ( n +1) pour tout le n . Intuitivement, un subsequence omet quelques éléments de l'ordre original. Un ordre est convergent si et seulement si tous ses subsequences convergent vers la même limite.
Chaque ordre convergent dans un espace métrique est un ordre de Cauchy et par conséquent lié par . Un ordre monotonique lié du de vrais nombres est nécessairement convergent : ceci s'appelle parfois le théorème fondamental de l'analyse. Plus généralement, chaque ordre de Cauchy de vrais nombres a une limite, ou court : les vrais nombres sont le complet.
Un ordre de vrais nombres est convergent si et seulement si son supérieur de limite de et subordonné de limite coïncident et sont tous deux finis.
Les opérations algébriques sont partout continues (excepté la division autour du diviseur zéro) ; ainsi, donné le $de \ x_n du lim_ {n \ \ infty} = L_1$ et $\ y_n du lim_ {n \ \ infty} = L_2$
puis

$\ lim_ {n \ \ infty} (x_n+y_n) = L_1 + L_2$

$\ lim_ {n \ \ infty} (x_ny_n) = L_1L_2$
et (si le L ₂ et le y _n est différent de zéro)

$\ lim_ {n \ \ infty} (x_n/y_n) = L_1/L_2$
Ces règles sont également valides pour des limites infinies using le
règles q + &infin ; = &infin ; pour le &ne du q ; - &infin ;
× du q ; &infin ; = &infin ; si q > 0
× du q ; &infin ; = - &infin ; si q < 0
q /&infin ; = 0 si &ne du q ; ± ; &infin ;
(voir la ligne prolongée par de vrai nombre).

Histoire
Le grec Zeno de philosophe d'Elea est célèbre pour formuler les paradoxes de qui impliquent de limiter les processus . Le Leucippus , le Democritus , l'antienne , le Eudoxus et le Archimède ont développé la méthode de d'épuisement , qui emploie un ordre infini des approximations pour déterminer un secteur ou un volume. Archimède a réussi à additionner ce qui s'appelle maintenant une série géométrique.
Le Newton a traité la série dans ses travaux sur l'analyse de avec la série infinie (écrit en 1669, circulé en manuscrit, édité en 1711), la méthode de de fluxions et de séries infinies (écrit en 1671, édité dans la traduction en anglais en 1736, l'original latin édité beaucoup plus tard) et le Tractatus de Quadratura Curvarum (écrit en 1693, édité dans 1704 comme annexe à son Optiks ). Dans le dernier travail, Newton considère l'expansion binomiale ( X + o ) du n de ^{qu'il linéarise alors par le prenant les limites (laissant le &rarr de o ; 0).}
En XVIIIème siècle, les mathématiciens comme le Euler ont réussi à additionner une certaine série divergente du par l'arrêt au bon moment ; ils n'ont pas fait beaucoup de soin si une limite a existé, tant que il pourrait calculer. À la fin du siècle, le Lagrange dans ses analytiques (1797) de fonctions de DES de Théorie de était d'avis que le manque de rigueur a exclu le développement ultérieur dans le calcul. Le gauss en son étude de la série hypergéométrique (1813) de pour la première fois a rigoureusement étudié dans quelles conditions par séries ont convergé à une limite.
La définition moderne d'une limite (pour tout &epsilon ; là existe un N d'index de sorte que…) a été donné indépendamment par le Bernhard Bolzano (binomische de Der de Lehrsatz , Prag 1816, peu noté alors) et par le Cauchy dans son d'analyse (1821) de Cours de .
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