Lignes obliques

Dans la géométrie , les lignes obliques sont deux lignes qui n'intersectent pas mais ne sont pas parallèles. D'une manière equivalente, elles sont des lignes qui ne sont pas toutes deux dans le même avion. Un exemple simple d'une paire de lignes obliques est la paire de lignes par les bords opposés d'un tétraèdre régulier . Lignes qui sont que coplanaires intersectent ou sont parallèles, ainsi les lignes de biais existent seulement dans trois dimensions ou plus.

Si chaque ligne est définie par deux points, alors ces quatre points ne doivent pas être coplanaires, ainsi ils doivent être les sommets d'un tétraèdre de volume différent de zéro ; réciproquement, deux paires quelconques de points définissant un tétraèdre de volume différent de zéro définissent également une paire de lignes obliques. Par conséquent, nous pouvons examiner si deux paires de points ( un , b ) et ( c , d ) définir les lignes obliques en appliquant la formule pour le volume d'un tétraèdre, le V = (1/6)·|det ( un d de − de c , de c de − de b , de b de − de )|, et essai si le résultat est différent de zéro.

Si quatre points sont choisis au hasard dans un cube en unité, ils le presque sûrement définiront une paire de lignes obliques, parce que (après que les trois premiers points ont été choisis) le quatrième point définira non-biaisent la ligne si et seulement s'il est coplanaire avec les trois premiers points, et l'avion par les trois premières formes de points un sous-ensemble de la mesure zéro du cube. De même, dans l'espace 3D une perturbation très petite de deux parallèles ou de lignes de intersection les transformera presque certainement en lignes obliques. Dans ce sens, les lignes obliques sont le " ; usual" ; le cas, et les lignes parallèles ou intersectantes sont des cas spéciaux.

Configurations des lignes de biais de multiple

Une configuration s lignes obliques est un ensemble de lignes dans lesquelles toutes les paires sont obliques. Deux configurations serait le isotopique s'il est possible de transformer sans interruption une configuration en autre, maintenant dans toute la transformation l'invariable que toutes les paires de lignes demeurent obliques. Deux configurations quelconques de deux lignes sont facilement vues pour être isotopiques, et des configurations du même nombre de lignes dans les dimensions plus haut que trois sont toujours isotopiques, mais les mêmes ne sont pas vrais pour des configurations de trois lignes ou plus dans trois dimensions (Viro et Viro 1990). Le nombre de configurations nonisotopic du n raye dans le R ³, commençant au n = 1, est le
1, 1, 2, 3, 7, 19, 74 de
,….

Lignes obliques et surfaces ordonnées

Si on tourne une ligne L autour d'une autre ligne biais mais pas perpendiculaire de L jusqu'à lui, la surface de de la révolution balayée dehors par L est un Hyperboloid d'une feuille . Les copies de L dans cette surface lui font une surface ordonnée par ; il contient également une autre famille des lignes qui sont obliques à L à la même distance de elle mais avec l'angle opposé. Un affinent la transformation de cette surface ordonnée produit une surface qui a en général une section transversale elliptique plutôt que la section transversale circulaire produite par L tournant autour du L'; de telles surfaces s'appellent également les hyperboloids d'une feuille, et encore est ordonné par deux familles des lignes mutuellement obliques. Un troisième type de surface ordonnée est le paraboloïde hyperbolique . Comme le hyperboloid d'une feuille, le paraboloïde hyperbolique a deux familles des lignes obliques ; dans chacun des deux familles les lignes sont parallèles à un avion commun bien que pas entre eux. Trois lignes obliques quelconques dans le R ³ se trouvent sur exactement une surface ordonnée d'un de ces types (Hilbert et Cohn-Vossen 1952).

Distance entre deux lignes obliques

Nous dérivons maintenant une formule pour calculer la distance minimum entre deux lignes obliques, déterminée par deux paires de points ( v ₁, v ₂) et ( v ₃, v ₄).

Deux points quelconques sur ces deux lignes peuvent être écrits comme vecteurs sous la forme t v ₁) - le v ₁ et s ( v ₃ (de v ₂- de v ₄-) - le v ₃, où s et t sont des paramètres à valeurs réelles. La distance entre deux tels points peut être calculée en s'appliquant le théorème pythagorien aux coordonnées et en regroupant les polynômes en résultant dans s et t en tant que le $de \ displaystyle As^2+2Bst+Ct^2+2Ds+2Et+F,$ là où

$A = (v_4-v_3) \ cdot (v_4-v_3), B= (v_4-v_3) \ cdot (v_1-v_2),$
$C = (v_1-v_2) \ cdot (v_1-v_2), D= (v_4-v_3) \ cdot (v_3-v_1),$
$E= (v_1-v_2) \ cdot (v_3-v_1), F= (v_3-v_1) \ cdot (v_3-v_1).$ Trouvant le minimum de cette expression, nous obtenons la distance minimum entre deux lignes comme $d^2 = \ = du frac {ACF+2BDE-AE^2-CD^2-FB^2} {AC-B^2} \ frac {\ det R} {\ det S}$ là où le $R= \ commencent {bmatrix} \ \ d'A&B&D \ B&C&E \ D&E&F \ extrémité {bmatrix}$ et $S= \ commencent {bmatrix} \ d'A&B \ B&C \ extrémité {bmatrix}$ .

En employant l'identité de Lagrange de ceci peut être récrit en termes de $d de des produits de cale = \$

du frac .

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