Ligne suffisante paquet

Dans les mathématiques , dans la géométrie algébrique ou la théorie des tubulures complexes une ligne très suffisante le paquet $L$ de de est une avec assez de sections pour installer un enfonçant de sa variété basse ou de tubulure $M$ dans l'espace projectif . Les notions de la ligne suffisante les paquets et des gerbes globalement produites sont des précurseurs de ligne très suffisante paquets.

Gerbes produites par leurs sections globales

Laisser le X être un arrangement ou une tubulure et un complexes F une gerbe sur le X . On indique que le F est produit par (de façon finie beaucoup) a_i global de

des sections \ dans F (X)

, si chaque tige du F est produite par les germes du a_i . Par exemple, si le F s'avère justement être une ligne paquet, c. exempt localement du grade 1, ceci s'élève à avoir de façon finie beaucoup de sections globales, telles que pour n'importe quel de point X dans le X , il y a au moins une section ne disparaissant pas en ce moment. Dans ce cas-ci un choix d'un tel global de générateurs un ₀,…, un n de _{de donne un f de de morphism : n , ↦ du → P^{de X du X … : tels que le f de retrait * ( O (1)) est le F . Le rapport inverse est également vrai : donné un tel f de morphism, le retrait du O (1) est produit par ses sections globales (sur X ).
Ligne très suffisante paquets
Donné un de l'arrangement X au-dessus d'un bas S d'arrangement ou d'une tubulure complexe, une ligne le de paquet (ou en d'autres termes une gerbe inversible , c., libèrent localement la gerbe du grade un) L sur le X serait le très suffisant, s'il y a un i de l'immersion : X S}}, le n - l'espace projectif dimensionnel du n _{du → P^{au-dessus du S pour un certain n , tels que le retrait de la norme tordant le de gerbe O (1) sur le S}} du n _{de P^{est isomorphe au L : i ^* L de de ≅ (d'O (1)). Par conséquent cette notion est un cas spécial de la précédente, à savoir une ligne paquet est très suffisante si elle est globalement produite et le morphism donné par quelques générateurs globaux est une immersion.
Donné un très suffisant de gerbe L sur le X et un logique F , un théorème de la gerbe de Serre prouve que (le ⊗ L^⊗n du F de la gerbe logique) est produit par de façon finie beaucoup de sections globales. Ceci implique alternativement que les sections globales et le plus haut cohomology (de Zariski) groupe le i ( X , F ) de ^{du H de sont de façon finie produits. C'est un dispositif distinctif de la situation projective. Par exemple, pour le n d'affinage - espacer le Aⁿ_k au-dessus d'un k de champ, les sections globales du O de gerbe de structure sont des polynômes dans les variables du n , ainsi pas un de façon finie produit k - l'espace de vecteur, tandis que pour le k du n}_{de P^{, les sections globales sont juste des fonctions constantes, un unidimensionnel k - l'espace de vecteur.}}

Ligne suffisante paquets
La notion de la ligne suffisante le L de des paquets est légèrement plus faible que la ligne très suffisante paquets : Le L s'appelle suffisant si un certain L^⊗n de puissance de tenseur est très suffisant. C'est équivalent à la définition suivante : Le L est suffisant si pour n'importe quel logique de gerbe F sur le X , là existe un n de nombre entier (F) , tels que le L le n} de ⊗ du F de ^{⊗ de est produit par ses sections globales. Ces définitions semblent raisonnable pour les diviseurs fondamentaux (diviseurs $D$ de de Cartier de ; un $D$ suffisant est un pour lequel le de $nD$ se déplace d'assez grand un système linéaire . De tels diviseurs forment un cône dans tous les diviseurs, de tels qui sont dans un certain positif de de sens assez de . Le rapport avec l'espace projectif est que le $D$ pour un $L$ très suffisant correspondra aux sections (intersection d'hyperplan de avec un certain hyperplan ) du $M$ incorporé.
Il y a une théorie plus générale des paquets suffisants de vecteur de

Critères pour l'ampleness
Pour décider dans la pratique quand un D de diviseur de Cartier correspond à une ligne suffisante paquet, il y a quelques critères géométriques. pour un algébrique S , le critère de la surface doux de Nakai-Moishezon déclare que le D est le suffisant IFF que son nombre d'Individu-intersection de est strictement le positif, et pour n'importe quel irréductible de courbe C sur le S nous prenons D de
. C > 0
dans le sens de la théorie d'intersection de .
Un autre critère utile est l'état de Kleiman de . Ceci déclare que pour n'importe quel algébrique complet X d'arrangement, un de diviseur D sur le X est le suffisant D d'IFF. X > 0 pour tout différent de zéro d'élément X dans la fermeture de Ne ( X ), le cône de des courbes du X . (Note que la prise de la fermeture est nécessaire ici ; il est possible (Nagata 1959) de construire des diviseurs sur les surfaces qui ont l'intersection positive avec chaque diviseur efficace, mais n'est pas suffisant.)
D'autres critères tels que l'état de Seshadri de donnent d'autres caractérisations du cône suffisant.
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