Ligne intégrale

Dans les mathématiques , une ligne l'intégrale (parfois appelé un chemin de le intégral) est un intégral où la fonction intégrer est évaluée le long d'une courbe . La diverse ligne intégrales différente sont en service. Dans le cas d'une courbe fermée ce s'appelle également une intégrale de .

La fonction à intégrer peut être un champ scalaire ou un champ de vecteur . La valeur de la ligne intégrale est la somme de valeurs du champ à tous les points sur la courbe, pesées par une certaine fonction scalaire sur la courbe (généralement longueur d'arc ou, pour un champ de vecteur, le produit scalaire du champ de vecteur avec un vecteur différentiel dans la courbe). Cette pondération distingue la ligne intégrale des intégrales plus simples définies sur les intervalles . Beaucoup de formules simples dans la physique (par exemple , $W= \ vec F \ cdot \ vec d$ ) ont des analogues continus normaux en termes de ligne intégrales ( $W= \ int_C \ vec F \ cdot d \ vec s$ ). La ligne intégrale trouve le travail effectué sur un objet se déplaçant par un champ gravitationnel électrique ou, par exemple.

Calcul de vecteur

En termes qualitatifs, une ligne intégrale dans le calcul de vecteur peut être considérée comme une mesure de tout le effet d'un champ de vecteur donné le long d'une courbe donnée.

Définition scalaire

Pour un certain f du champ scalaire : R du

du U \ to

défini sur un ouvert U du sous-ensemble du n , la ligne intégrale de ^{du R sur un C de courbe, parametrized comme &isin du r ( t ) ; Le U avec le $du t \ isin$ '' b '' est défini près $de \ int_C f \, ds = \ int_a^b f (\ mathbf {r} (t)) |\ mathbf {r} '(t)|\, dt.$ là où le f de est le champ scalaire étant integrated, le r ( t ) de
: le C du $de b \ to$ est une paramétrisation bijective du du C de courbe et le r ( de
un ) et le r ( b ) donnent les points finaux du C . Le ds de symbole est le heuristically interprété comme longueur d'arc élémentaire . Puisqu'ils dépendent seulement de l'élément de la longueur d'arc, la ligne intégrales des champs scalaires sont indépendant du r ( t ) de paramétrisation.
Définition de vecteur
Pour un F du champ de vecteur : &sube du U ; n , la ligne intégrale de ^{du R du $du n$} de ^{du R \ to sur un C de courbe, parametrized comme &isin du r ( t ) ; U avec le &isin du t ; '' b '', est défini près}
$\ int_C \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot \, d \ mathbf {r} = \ int_a^b \ mathbf {F} (\) de mathbf {r} (t) \ cdot \ mathbf {r} '(t) \, dt.$
La ligne intégrales des champs de vecteur sont indépendant du de paramétrisation r ( t ) en valeur absolue , mais ils dépendent de son orientation . Spécifiquement, une inversion dans l'orientation de la paramétrisation change le signe de la ligne intégrale.

L'indépendance de chemin
voient également :
du théorème de gradient de
Si un F de champ de vecteur est le gradient d'un G du champ scalaire , c., = de $\ nabla de G \ mathbf {F},$
puis le dérivé de la composition du G et du r ( t ) est $de \ frac {dg (\ mathbf {r} (t))}{décollement} = \ nabla G (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} « (t) = \ mathbf {F} (\) de mathbf {r} (t) \ cdot \ mathbf {r} » (t)$
ce qui s'avère justement être la fonction à intégrer pour la ligne intégrale du F sur le r ( t ). Elle suit cela, donné un C de chemin, puis

$= \ int_a^b \ frac {dg (\ mathbf {r} (t))}{} de décollement \, décollement = G (\ mathbf {r} (b)) - G (\ mathbf {r} (a)).$
Dans les mots, l'intégrale du F au-dessus du C dépend seulement des valeurs du G dans le r ( b ) de points et le r ( un ) et est ainsi indépendant du chemin entre eux.
Pour cette raison, une ligne intégrale d'un champ de vecteur qui est le gradient d'un champ scalaire s'appelle le chemin indépendant de .

Applications
La ligne intégrale a beaucoup d'utilisations dans la physique. Par exemple, le travail effectué sur une particule voyageant sur un de courbe C à l'intérieur d'un champ de force représenté comme F de champ de vecteur est la ligne intégrale du F sur le C .
Rapport avec la ligne intégrale dans l'analyse complexe
Le visionnement des nombres complexes en tant que 2D vecteurs, la ligne intégrale dans la 2D d'un champ de vecteur correspond à la partie réelle de la ligne intégrale du conjugé de la fonction complexe correspondante d'une variable complexe. En raison des équations de Cauchy-Riemann de la courbure du champ de vecteur correspondant au conjugé d'une fonction holoèdre est zéro. Ceci se rapporte par le a chargé le théorème les deux types de ligne intégrale étant zéro.

Analyse complexe < ! -- Cette section est liée du plan complexe -->
La ligne intégrale est un outil fondamental dans l'analyse complexe . Supposer que le U est un sous-ensemble ouvert de ''' , le $\ gamma$ du ''' C de : le U du $de '' b '' \ to$ est une courbe rectifiable et le f : Le C du $du U \ to$ est une fonction. Puis la ligne intégrale $f de (z) \, dz$ peuvent être définis en subdivisant l'intervalle '' b '' de en = t ₀ < t ₁ <… < le n de _{du t} = b et vu l'expression $de \ sum_ {1 \ le k \ le n} f (\ gamma (t_k)) (\ - de gamma (t_k) \ gamma (t_ {k-1})).$
L'intégrale est alors la limite de cette somme, car les longueurs de l'approche zéro d'intervalles de subdivision.
Si le $\ gamma$ est sans interruption une courbe différentiable du , la ligne intégrale peut être évaluée comme intégrale d'une fonction d'une vraie variable : $\ int_ \ gamma f de (z) \, la DZ$
\ int_a^b f (\ gamma (t)) \, \ gamma \, '(t) \, dt.
Quand le $\ gamma$ est une courbe fermée, c., ses points initiaux et finaux coïncident, la notation $\ oint_ \ gamma f de (z) \, dz$
est employé souvent pour la ligne intégrale du f le long du $\ gamma$ .
La ligne intégrales des fonctions complexes peut être évaluée using un certain nombre de techniques : l'intégrale peut être dédoublée dedans à vrai et des pièces imaginaires ramenant le problème à celle d'évaluer deux la ligne à valeurs réelles intégrales, la formule intégrale de Cauchy de peuvent être employées dans d'autres circonstances. Si la ligne intégrale est une courbe fermée dans une région où la fonction est le analytique et ne contenant aucune singularité , alors la valeur de l'intégrale est simplement zéro, ceci est une conséquence du théorème intégral de Cauchy de . En raison du théorème de résidu de , on peut souvent employer des intégrales dans le plan complexe pour trouver des intégrales des fonctions à valeurs réelles d'une vraie variable (voir le théorème de résidu de pour un exemple).

Exemple
Considérer le z du f ( z ) =1/de fonction, et laisser le C de découpe être le cercle d'unité environ 0, qui peut parametrized par le t de ^{i du e , avec le t dans le $2 \ pi$ . Substituant, nous trouvent

$\ oint_C f (z) \, la DZ = \ int_0^ {2 \ pi} {1 \ au-dessus d'e^ {It}} ie^ {It} \, décollement = I \ int_0^ {2 \ pi} e^ {- e^ il} {It} \, dt$
$=i \ int_0^ {} de 2 \ pi \, décollement = I (2 \ pi-0) =2 \ pi i$ ce qui peut être également vérifié par la formule intégrale de Cauchy de .}

La mécanique quantique
Le " ; " intégral de la formulation de chemin de ; du la mécanique quantique se réfère réellement pas aux intégrales de chemin dans ce sens mais aux intégrales fonctionnelles , c., intégrales de au-dessus d'un espace des chemins, d'un de fonction de un chemin possible. Cependant, les intégrales de chemin dans le sens de cet article sont importantes en mécanique quantique ; par exemple, l'intégration complexe de découpe est employée souvent dans les amplitudes de évaluation de la probabilité en de quantum dispersant la théorie de .

Voir également

Méthodes de de l'intégration de découpe
Le théorème de Nachbin de
Intégrale extérieure
Volume intégral de
Intégration fonctionnelle .
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