Lemme diagonal

Dans la logique mathématique , le lemme diagonal ou le théorème de point fixe de établit l'existence des phrases autoréférentielles du dans des théories formelles des nombres normaux si ces théories sont assez fortes pour représenter toutes les fonctions calculables que de telles phrases peuvent être employées pour prouver des résultats fondamentaux tels que les théorèmes de l'imperfection de Gödel de et le théorème de l'indefinability de Tarski de .

Fond

Laisser le N être l'ensemble de nombres normaux de que le du T de la théorie de A représente le f de fonction : &rarr du N ; N si là existe un &delta de formule ; ( X , y ) dans la langue du T tels que pour chaque n , le T prouve le &forall de ; y = &harr de '' y '' ; &delta ; ( '' n '' , '' y ''). Ici le n est le numéro correspondant au n de nombre normal ; il est défini pour être le · fermé de la limite 1+ ; · ; · ; +1 ( n ceux).

Le lemme diagonal s'applique aux théories capables de représenter les fonctions qui composent l'arithmétique récursive primitive . De telles théories incluent le Peano arithmétique et le plus faible Robinson arithmétique.

Le lemme diagonal exige également qu'il y ait une manière systématique de l'attribution à chaque &theta de formule ; un nombre normal # (&theta ;) a demandé son numéro de Gödel de . Des formules peuvent alors être représentées dans la théorie par les numéros correspondant à leurs nombres de Gödel.

Rapport du lemme

Laisser le T être une théorie de premier ordre du dans la langue d'arithmétique et capable de représenter toutes les fonctions calculables laisser le &psi ; être une formule dans le de théorie T avec une variable libre. Le lemme de diagonale déclare qu'il y a un &phi de phrase ; dans le T tels que &phi ; ; &harr ; ; &psi ; (# (&phi ;)) est prouvable dans le T .

Intuitivement, &phi ; est une phrase autoréférentielle du indiquant ce &phi ; a le &psi de propriété ;. Le &phi de phrase ; peut également être regardée comme point fixe de l'opération l'attribution à chaque &theta de formule ; le &psi de phrase ; (# (&theta ;)). Le &phi de phrase ; pas construit dans la preuve n'est littéralement le même que le &psi ; (# (&phi ;)), mais est prouvable équivalent à lui dans le T de théorie.

Preuve

Laisser le f : &rarr du N ; Le N soit une fonction tels que : f de (# (&theta ;)) = # (&theta ; (# (&theta ;)) pour tout tout &theta de formule ; dans le T de théorie ayant une variable libre. Si le n n'est pas le nombre de Gödel d'une formule, puis le f ( n ) = 0. Le f de fonction est calculable, tellement il y a un &delta de de formule ; représentant le f dans le T . Ainsi pour chaque &theta de formule ; , le T prouve le &forall de ; y '' y '' = # (&theta ; (# (&theta ;))&harr de ; &delta ; (# (&theta ;), y). Définir maintenant le &beta de formule ; (x) comme : &beta de ; (x) = &forall ; &rarr du y ; &psi ; ('' y ''). Laisser le &phi ; être le &beta de phrase ; (# (&beta ;)). Alors nous pouvons prouver dans le T cela : &phi de (*) ; &harr ; &forall ; &delta du y ; (# (&beta ;)&rarr de , de '' y '') ; &psi ; ('' y '') &harr ; &forall ; y ('' y '' = # (&beta ; (# (&beta ;))&rarr de ) ; &psi ; ('' y ''). ; ; ; Nous analysons deux cas. &phi arrogant ; prises, produit de remplacement # (&beta ; (# (&beta ;)) pour le y dans la formule extrême droite dedans (*), et obtiennent : (# (&beta ; (# (&beta ;)) = # (&beta ; (# (&beta ;))&rarr de ) ; &psi ; (# (&beta ; (# (&beta ;))), Depuis le &phi ; = &beta ; (# (&beta ;)), il suit ce &psi ; (# (&phi ;)prises de ). Réciproquement, assumer ce &psi ; (# (&beta ; (# (&beta ;))) se tient. Alors la formule finale dedans (*) doit être vraie, et &phi ; est également vrai.

Ainsi &phi ; &harr ; &psi ; (# (&phi ;)) est prouvable dans le T , comme désiré.

Histoire

Le lemme diagonal est étroitement lié au théorème de la récursion de Kleene de dans la théorie de Computability de , et leurs preuves respectives sont tout à fait semblables.

Le lemme s'appelle le " ; diagonal" ; parce qu'il soutient de la ressemblance à l'argument diagonal du chantre de . Le " de limites ; lemma" diagonal ; ou " ; point" fixe ; ne paraissent pas dans le l'article 1931 d'époque de s de Gödel Kurt ', ou en Tarski (1936). Carnap (1934) était le premier pour prouver cela pour n'importe quel &psi de formule ; dans un T de théorie remplissant certaines conditions, là existe un &phi de formule ; tels que &phi ; ; &harr ; ; &psi ; (# (&phi ;)) est prouvable dans le T . Le travail de Carnap a été exprimé dans la langue alternative, car le concept des fonctions calculables n'a pas été encore développé en 1934. 204) croit que Carnap était le premier pour déclarer que quelque chose comme le lemme diagonal était implicite dans le raisonnement de Gödel. Gödel se rendait compte du travail de Carnap d'ici 1937.

Voir également

Autoréférence indirecte
Autoréférence
Théorème d'imperfection de Gödel de
Théorème de l'indefinability de Tarski de
Arithmétique récursive primitive

Random links: