Le radon transforment

Dans les mathématiques , le radon de transforment dans deux dimensions, baptisées du nom du radon de Johann de , est le transformée comprenant l'intégrale d'une fonction au-dessus des lignes droites. L'inverse du radon transforment est employé pour reconstruire des images des balayages médicaux de la tomographie calculée .

Considérer la ligne droite définie paramétriquement par le $de\; (x\; (t),\; y\; (t))\; =\; t\; (\backslash \; péché\; \backslash \; thêta,\; -\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta)\; +\; s\; (\backslash \; cos\; \backslash ,\; de\; thêta\; \backslash \; péché\; \backslash \; thêta)$

c'est un de distance s de l'origine, et a une normale faire un $d\text{'}angle\; \backslash \; theta$ à l'axe du X . Nous définissent radon transforment de fonction f sur avion (où on le suppose que la fonction est continue et disparue en dehors d'un disque d'un certain rayon fini) par

$\backslash \; mathcal\; \{R\}\; f\; (\backslash \; thêta,\; s)\; =\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (x\; (t),\; y\; (t))\; \backslash ,\; dt$

Dans le n - dimensionnel (l'espace de n >2) que le radon transforment est l'intégrale d'une fonction au-dessus des hyperplans. L'intégrale d'une fonction au-dessus de l'ensemble de toutes les lignes dans l'espace de $n$-dimensional s'appelle le rayon X de transforment (ou rayon transformer), bien qu'elle soit parfois lâchement mentionnée pendant qu'un radon transforment.

Dans le cadre de la tomographie que le radon transforment des données s'appelle souvent un sinogram parce que le radon transforment d'une fonction de Dirac de Dirac est une distribution avec l'appui sur le graphique d'une onde sinusoïdale. En conséquence le radon transforment d'un certain nombre de petits objets apparaît graphiquement en tant qu'un certain nombre d'ondes sinusoïdales brouillées avec différentes amplitudes et phases.

Ceci transforment dans deux dimensions et trois dimensions (où une fonction est integrated au-dessus des avions) ont été présentées dans un papier 1917 par le radon , qui de Johann de a fourni des formules pour l'inverse transforment (problème de reconstruction). Il plus tard a été généralisé, dans le cadre de la géométrie intégrale .

Le radon transforment est utile en tomographie axiale calculée (balayage de de CAT) et dans la solution des équations différentielles partielles de hyperbolique .

Théorème de tranche de Fourier

voient également :

du théorème de Projection-tranche de

Le radon transforment est étroitement lié à la transformée de Fourier . Pour une fonction d'une variable nous définissons la transformée de Fourier = de $\backslash \; chapeau\; de$

{f} (\ Omega) \ frac {1} 2 \ pi)}^ {1/2 \ international f (x) e^ {-} d'IX \ Omega \, dx.

et pour une fonction d'un $de\; 2\; vecteurs\; \backslash \; de\; mathbf\; \{x\}\; =\; (x,\; y)$

$\backslash \; =\; du\; chapeau\; \{f\}\; (\backslash \; mathbf\; \{W\})\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \backslash \; pi\; \backslash international\backslash \; ^\; de\; limits\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; international\; \backslash \; limits\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; e^\; \{-\; I\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; x\; \backslash \}\; de\; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{W\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; Dy$

et pour la convenance définir le $R\_\; \backslash \; theta=\; R\; (,\; de\; s\; \backslash \; thêta)$ car nous prendrons la transformée de Fourier dans la variable de $s$. Les états du théorème de tranche de Fourier de puis

$\backslash \; widehat\; \{R\_\; \{\backslash \; thêta\}\}\; (\backslash \; sigma)\; =\; \backslash \; racine\; carré\; \{\}\; de\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; chapeau\; \{f\}\; (\backslash \; sigma\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; (\backslash \; thêta)).$

là où $de$

\ mathbf {n} (\ thêta) = (\ cos \, de thêta \ péché \ thêta) .

Ce résultat naturellement donne une formule explicite d'inversion pour le radon transforment, et prouvent ainsi qu'il est inversible sur les espaces convenablement choisis des fonctions. Cependant il n'est pas particulièrement utile pour l'inversion numérique.

Projection par transparence filtrée

Un explicite et informatique algorithme efficace d'inversion existe pour le radon bidimensionnel transforme la projection par transparence filtrée appelée. Considérer d'abord le formel Adjoint de $R$ :

$R^\; \{*\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \backslash \; int\_\; \{\backslash \; theta=0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; g\; (\backslash \; thêta,\; \backslash \; mathbf\; \{n\}\; (\backslash )\; de\; thêta\; \backslash )\; de\; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; thêta,$ Cet opérateur s'appelle généralement la « projection par transparence » pendant qu'elle prend une fonction définie sur chaque ligne dans l'avion et « l'enduit » ou le projette en arrière au-dessus de la ligne pour produire une image. Naturellement cet adjoint n'est pas un inverse au radon transforment, par exemple le radon transforment d'un petit objet est une fonction qui a une onde sinusoïdale épaissie en tant que son appui. Si ceci en arrière-est projeté il produit une étoile comme l'image portée sur l'original objectent.

Nous définissons un rampe-filtre sur une fonction $h$ d'une variable par le $de\; \backslash \; widehat\; \{H\}\; (\backslash \; Omega)\; =|\{W\}|\backslash \; chapeau\; \{h\}\; (\{\backslash \; Omega\})$ (la notation n'est pas standard) puis using le théorème de tranche de Fourier et le changement des variables pour l'intégration nous constatons que pour le $de\; de$ f$une\; fonction\; de\; deux\; variables,\; et\; de$ g=R$f$

\ frac {1} {4 \ pi} R^ {*} H

ce qui signifie que l'image originale $f$ peut être récupérée des données $g$ de « sinogram » en appliquant un filtre de rampe (dans la variable de $s$) et puis backprojecting. Car l'étape de filtrage peut être exécutée efficacement (par exemple using des techniques du traitement numérique du signal De ) et l'étape de projection par transparence est simplement une accumulation des valeurs dans les Pixel de l'image, ceci a comme conséquence un très efficace, et par conséquent employé couramment, algorithme.

Voir également

le Hough transforment
Reconstruction tomographique

.

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