Le principe de Hume

Le principe de Hume de , ou la HP de - les limites ont été inventées par le &mdash de George Boolos ; dit que le nombre du F s est égal au nombre du G s s'il y a une correspondance linéaire (un Bijection ) de entre le F s et la HP du G S. peut être énoncée formellement dans les systèmes de la logique de second ordre .

La HP joue un rôle central dans le philosophie de s de Frege Gottlob 'des mathématiques. Frege prouve que la HP et les définitions appropriées des notions arithmétiques nécessitent tous les axiomes de ce que nous appelons maintenant l'arithmétique de second ordre . Ce résultat est connu en tant que théorème de Frege de , qui est la base pour une philosophie des mathématiques connue sous le nom de néo--logicism .

Origines

Le principe de Hume apparaît dans les bases du de Frege de arithmétique, qui cite du chapitre III du premier livre le de s de Hume David de le 'un traité de la nature humaine . Hume là a visé sept relations fondamentales entre les idées. Pour ce qui concerne un de ces derniers, la proportion dans la quantité ou le nombre , Hume de argue du fait que notre raisonnement au sujet de la proportion dans la quantité, comme représentée par la géométrie , peut ne jamais réaliser le " ; précision et exactness" parfaits ; , puisque ses principes sont dérivés du sentir-aspect. Il contraste ceci avec des motifs au sujet du nombre ou du arithmétique, dans lesquels un tel de précision peut être atteint :

Algebra et l'arithmétique les seules sciences, en lesquelles nous pouvons continuer une chaîne des motifs à n'importe quel degré de complexité, mais préservent une précision et une certitude parfaites. Nous sommes possédés d'une norme précise, par laquelle nous pouvons juger de l'égalité et de la proportion de nombres ; et selon qu'ils correspondent ou pas à celui standard, nous déterminons leurs relations, sans n'importe quelle possibilité d'erreur. Le quand deux nombres sont ainsi combiné, comme au lequel celui a toujours une unité répondre à chaque unité de l'autre, nous les prononçons égal ; et il est pour veulent d'un tel niveau d'égalité dans la prolongation, cette géométrie peut rare être estimée une science parfaite et infaillible.)

Noter l'utilisation de Hume du nombre de de mot dans le sens antique, de signifier un ensemble ou une collection de choses plutôt que la notion moderne commune du " ; integer" positif ;. La notion du grec ancien du nombre (arithmos de ) est d'une pluralité finie composée d'unités. Voir le Aristote , la métaphysique de , le 1020a14 et le Euclid , les éléments , le livre VII, la définition 1 et 2. Le contraste entre la vieille et moderne conception du nombre est discuté en détail dans Mayberry (2000). Les essais de Frege de crédit à donner à Hume donc n'est pas probablement mérités, et Hume certainement aurait rejeté au moins certaines des conséquences que Frege tire de la HP, en particulier, la conséquence qu'il y a des nombres infinis du .

Influence sur la théorie des ensembles

Le principe que le nombre cardinal devait être caractérisé en termes de correspondance linéaire avait été précédemment employé au grand effet par le chantre de Georg de , dont les écritures le Frege a sues. La suggestion a été donc faite que le principe de Hume doit mieux s'appeler le " ; Principle" du chantre ;. Mais Frege a critiqué le chantre du fait que le chantre définit les nombres cardinaux en termes de nombres ordinaux tandis que Frege a voulu donner une caractérisation des cardinaux qui était indépendant des nombres ordinaux. Le point de vue du chantre, cependant, est celui incorporé dans des théories contemporaines des nombres transfinis , comme développé dans la théorie des ensembles axiomatique.

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