Le nombre de Skewes
Dans la théorie des nombres , le nombre de Skewes de peut se rapporter à plusieurs nombres extrêmement grands employés par le sud-africain Stanley Skewes de mathématicien du comme limites supérieures pour le plus petit X du nombre normal pour lequel
là où &pi ; (x) est la fonction de Principal-compte et le Li ( X ) est la fonction intégrale logarithmique . Les nombres trouvés par Skewes sont maintenant seulement d'intérêt historique, parce que les calculs d'ordinateur ont produit des évaluations beaucoup plus petites ; en date de 2007 ces calculs suggèrent que le plus petit un tel X soit proche de 1.397× ; 10316.
Les nombres de Skewes
Le John Edensor Littlewood , le professeur de Skewes, prouvé dans celui il y a un tel nombre (et ainsi, un premier un tel nombre) ; et en effet constaté que le signe du &pi de différence ; ( X ) ; &minus ; ; le Li ( X ) change infiniment souvent. Tout le disponible numérique d'évidence puis semblé pour suggérer ce &pi ; ( X ) est toujours moins que le Li ( X ), bien que les mathématiciens au courant du travail de Riemann sur la fonction de zéta de Riemann se soient rendus compte probablement que les exceptions occasionnelles étaient probables par le d'argument donné au-dessous de (et de la réclamation parfois introduite que le résultat de Littlewood était une grande surprise pour des experts semble douteux). La preuve de Littlewood n'a pas fait, toutefois objet exposé un béton un tel X de nombre ; ce n'était pas un résultat efficace .montré que, supposant que l'hypothèse de Riemann de est vraie, là existe un X de nombre violant le &pi ; ( X ) < Li ( X ) au-dessous de
(maintenant parfois appelé le nombre de premier Skewes de ), qui est approximativement égal au
de
.
Dans, sans assumer l'hypothèse de Riemann, il est parvenu à montrer que là doit exister une valeur du X au-dessous du
de
(parfois appelé le nombre de Skewes de en second lieu). La tâche de Skewes était de rendre la preuve de l'existence de Littlewood efficace : exposition d'une certaine limite supérieure concrète pour le premier changement de signe. Selon le George Kreisel , ceci alors n'a pas été considéré même en principe évident. L'approche a appelé le déroulant dans des regards de la théorie de preuve de directement aux preuves et à leur structure pour produire des limites. L'autre manière, en nombre dans la pratique plus souvent vue théorie, change assez la structure de preuve de sorte que des constantes absolues puissent être rendues plus explicites.
Le résultat de Skewes a été célébré en partie parce que la structure de preuve a employé moyen exclu par , qui n'est pas le a priori par argument constructif (il se divise en deux cas, et il n'est pas calculable dans ce cas on fonctionne). Bien que les deux nombres de Skewes soient grands comparés à la plupart des nombres produits dans les preuves mathématiques, ni l'un ni l'autre n'est n'importe où près aussi grand que le nombre de Graham de .
Des évaluations plus récentes
Ces (énormes) limites supérieures depuis ont été réduites considérablement en employant des calculs d'ordinateur de large échelle des zéros de la fonction de zéta de Riemann. La première évaluation pour la valeur réelle d'un point de croisement a été donnée près, qui montré cela quelque part entre 1.53× ; 101165 et 1.65× ; 101165 là sont plus que le consécutif des nombres entiers 10500 X avec le &pi ; ( X ) > Li ( X ). Sans assumer l'hypothèse de Riemann, prouvée une limite supérieure de 7. Une meilleure évaluation était 1.39822 découverts près, qui ont montré qu'il y a au moins les nombres entiers 10153 consécutifs quelque part près de cette valeur où &pi ; ( X ) > Li ( X ), et suggéré qu'il y ait probablement au moins de 10311. a fourni une petites amélioration et correction au résultat des compartiments et du Hudson. suggéré que le premier point de croisement soit près de la valeur légèrement plus petite 1.397162914× ; 10316, cependant en date de 2007 son travail n'a pas été édité ou n'a pas été indépendamment vérifié. Les compartiments et le Hudson ont trouvé quelques valeurs beaucoup plus petites du X où &pi ; (x) obtient près du Li (x) ; la possibilité qu'il y a des points de croisement près de ces valeurs ne semble pas avoir été certainement éliminée encore, cependant les calculs d'ordinateur suggèrent qu'il soit peu susceptible les exister. Il n'y a aucun explicite X de valeur connu pour que sûr ait le &pi de propriété ; (x) > Li (x), bien que les calculs d'ordinateur suggèrent quelques nombres explicites qui sont tout à fait pour satisfaire ceci.montré cela la proportion de nombres entiers pour lesquels &pi ; ( X ) le >li ( X ) est positif, et prouvé que cette proportion est environ .00000026, qui est à quelle distance donné étonnant le grand doit aller trouver le premier exemple.
La formule de Riemann
Riemann a donné une formule explicite pour le &pi ; (x), dont les principales limites sont (ignorant quelques questions subtiles de convergence) le + de plus petites limites là où la somme est au-dessus de &rho de zéros ; de la fonction de zéta de Riemann. La plus grande limite d'erreur dans le &pi d'approximation ; (x) = Li (x) (si l'hypothèse de Riemann de est vrai) est le Li (x1/2) /2, prouvant que le Li ( X ) est habituellement plus grand que le &pi ; (x). L'autre nomme ci-dessus sont légèrement plus petit, et d'ailleurs tendent à faire décommander différents arguments complexes tellement la plupart du temps dehors. De temps en temps cependant, beaucoup de les plus grands elles force s'avèrent justement avoir rudement le même argument complexe, dans ce cas elles se renforceront au lieu de l'annulation et accableront le Li de limite (x1/2) /2. La raison pour laquelle le nombre de Skewes est si grand est que ces plus petites limites sont énormément plus petites que la principale limite d'erreur, principalement parce que le premier complexe zéro de la fonction de zéta a tout à fait une grande partie imaginaire, ainsi un grand nombre (plusieurs centaines) de eux le besoin d'avoir rudement le même argument afin d'accabler la limite dominante. La possibilité des nombres complexes aléatoires du N ayant rudement le même argument est environ 1 dans 2 le N . Ceci explique pourquoi &pi ; ( X ) est parfois plus grand que le Li ( X ), et aussi pourquoi il est rare pour que ceci se produise. Il montre également pourquoi la conclusion des endroits où ceci se produit dépend des calculs de large échelle des millions de zéros de haute précision de la fonction de zéta de Riemann. L'argument ci-dessus n'est pas une preuve, car il supposent que les zéros de la fonction de zéta de Riemann sont aléatoires qui n'est pas vraie. En général, la preuve de Littlewood se compose montrer que cela dans un certain sens les zéros sont " ; suffisamment random" ; pour que cet argument travaille.Dans l'événement peu probable que l'hypothèse de Riemann est fausse, l'argument est beaucoup plus simple, essentiellement parce que le Li de limites (&rho de X ; ) pour des zéros violant l'hypothèse de Riemann (avec partie réelle plus considérablement que 1/2) sont par la suite plus grands que le Li ( X 1/2).
La raison du Li de limite ( X 1/2) /2 est que, en général, le Li ( X ) compte pas amorce, mais amorce le n de du p de puissances pesé par 1 n , et le Li ( X 1/2) /2 est une sorte de limite de correction venant des places de amorce.