Le lemme de Sperner

vous pouvez rechercher le théorème de Sperner de sur les familles d'ensemble

Dans les mathématiques combinatoires du , le lemme de Sperner de déclare que chaque coloration de Sperner de d'une triangulation d'un n - le dimensionnel recto contient une cellule colorée avec un ensemble complet de couleurs. Le résultat initial de cette sorte a été prouvé par le Emanuel Sperner , en relation avec des preuves de l'invariance de du domaine . Des colorations de Sperner ont été employées pour le calcul efficace des points fixes dans les algorithmes de recherche du radical de et sont appliquées dans des algorithmes justes de la division .

Selon l'encyclopédie mathématique (ed de soviétique. Vinogradov ), un théorème 1929 relatif (de Knaster , de Borsuk et de Mazurkiewicz ) est également devenu notoire comme lemme de Sperner de - ce point est discuté dans la traduction en anglais (ed.

Cas unidimensionnel

Dans une dimension, le lemme de Sperner peut être considéré comme une version discrète du théorème de valeur intermédiaire . Dans ce cas-ci, il indique essentiellement que si une fonction discrète prend seulement les valeurs 0 et 1, commence à la valeur 0 et finit à la valeur 1, alors elle doit commuter des valeurs un nombre impair de fois.

Cas bidimensionnel

Le cas bidimensionnel est celui visé plus souvent. On lui énonce comme suit :

Donné un ABC de la triangle , et un T de triangulation de la triangle. Le S d'ensemble des sommets du T est coloré avec trois couleurs de telle manière que A, B et C sont colorés respectivement le

1, 2 et 3 Chaque sommet sur un bord d'ABC doit être coloré seulement avec une des deux couleurs des extrémités de son bord. Par exemple, chaque sommet sur le C. doit avoir un de la couleur 1 ou 3.

Là existe alors une triangle du T , dont les sommets sont colorés avec les trois couleurs différentes. En particulier, il doit y a un nombre impair de telles triangles.

Cas multidimensionnel

Dans le cas général le lemme se rapporte à un n - simplex dimensionnel

de  \ {A} =A_1 mathcal A_2 \ ldots A_ {n+1}

Nous considérons un T de triangulation qui est une division de disjonction de $\ {A} de$ mathcal dans un plus petit n - simplex dimensionnels. Dénoter la fonction de coloration comme du f ; : ; du S ; → ; {1.3,…, n , n +1}, où le S est encore l'ensemble de sommets du T . Les règles de la coloration sont : Les sommets du grand simplex sont colorés avec différentes couleurs, c. du f ( i de _{de A ) ; = ; i pour 1}

du n +1. de ≤ du i de ≤ Sommets du T situé sur tout donné k - subface dimensionnel

A_ de  {i_1} A_ {i_2} \ ldots A_ {i_k}

sont colorés seulement avec les couleurs $f de (A_ {i_1}), f (A_ {i_2}), \ ldots, f (A_ {i_k})$ .

Là existe alors un nombre impair de simplex du T , dont les sommets sont colorés avec toutes les couleurs du n+1 . En particulier, il doit y avoir au moins d'un.

Preuve

Nous adresserons d'abord le cas bidimensionnel. Considérer un G de graphique établi du T de triangulation comme suit : le

les sommets du G sont les membres du T plus le secteur en dehors de la triangle. Deux sommets sont reliés à un bord si leurs secteurs correspondants partagent une frontière commune, qui est colorée 1-2.

Noter que sur l'intervalle ab il y a un nombre impair de frontières a coloré 1-2 (simplement parce qu'A est coloré 1, B est coloré 2 ; et pendant que nous nous déplaçons le long de l'ab, il devons y a un nombre impair de changements de couleur afin d'obtenir différentes couleurs au début et à l'extrémité). Par conséquent le sommet du G correspondant au secteur externe a un degré impair. Mais on le sait que dans un graphique fini il y a un chiffre pair des sommets avec le degré impair, et donc il y a un nombre impair de sommets avec le degré impair correspondant aux membres du T .

Il peut facilement voir que le seul degré possible d'une triangle du T est 0, 1 ou 2, et que le degré 1 correspond à une triangle colorée aux trois couleurs 1, 2 et 3.

Ainsi nous avons obtenu une conclusion légèrement plus forte, qui indique que dans un T de triangulation il y a un nombre impair (et au moins de l'une) de triangles plein-colorées.

Un cas multidimensionnel peut être prouvé par induction sur la dimension d'un simplex. Nous appliquons le même raisonnement, comme dans le cas à deux dimensions, pour conclure que dans un n - la triangulation dimensionnelle il y a un nombre impair de simplex plein-colorés.

Généralisations

Le lemme de Sperner a été généralisé aux colorations du Polytopes avec des sommets de n par des couleurs de k. Dans ce cas, il y a au moins des simplex entièrement marqués de n-k.

Voir également

Théorème de point fixe de Brouwer de

Random links: