Le lemme d\'Urysohn

Dans la topologie , le lemme d'Urysohn de , a parfois appelé le " ; le premier fait non trivial du topology" réglé de point ; , est utilisé généralement pour construire les fonctions continues avec de diverses propriétés sur les espaces normaux qu'il s'applique largement puisque tous les espaces métriques et tous les espaces de Hausdorff de du contrat sont normaux. Le lemme est généralisé par (et habituellement employé dans la preuve de) le théorème de prolongation de Tietze de .

Le lemme est baptisé du nom de Pavel Samuilovich Urysohn . Voir également la fonction de coupure de .

Rapport formel

Le lemme d'Urysohn déclare que le X est un espace topologique normal du si et seulement si, toutes les fois que le A et le B sont disjoindre les sous-ensembles fermés par de de X , alors là existe une fonction continue du X dans l'intervalle unitaire 1, le f de : → 1, du X tels que f ( un ) = 0 pour tout le un dans le A et le f ( b ) = 1 pour tout le b dans le B .

Un tel f de fonction est connu comme fonction d'Urysohn de .

Noter que dans le rapport ci-dessus, nous ne faisons pas, et ne pas pouvoir en général, exiger ce ≠ 0 du f ( X ) et ≠ 1 pour le X en dehors du A et du B . C'est seulement possible dans les espaces parfaitement normaux

Un corollaire du lemme est que les espaces normaux de ₁ du '' T '' sont Tychonoff .

Croquis de la preuve

Pour chaque ∈ dyadique du r de la fraction (0.1), nous allons construire un ouvert U ( r ) du sous-ensemble avec du X tels que : Le U ( r ) contient le A et est disjoignent du B pour tout le

du r pour le r < s , la fermeture du U ( r ) est contenu dans le U ( s ) Une fois que nous avons ces ensembles, nous définissons le f ( X ) = le FNI { r : de ∈ du X U ( r )} pour chaque X de ∈ du X . Using le fait que les nombres rationnels dyadiques sont le dense, il n'est pas alors trop difficile de prouver que le f est continu et a le ⊆ du f ( A ) de propriété {0} et le ⊆ du f ( B ) {1}.

Afin de construire le U ( r ) d'ensembles, nous faisons réellement un peu plus : nous construisons le U ( r ) d'ensembles et le V ( r ) tels que
de ⊆ du U ( r ) et du B de ⊆ du A V ( r ) pour tout le r
Le U ( r ) et le V ( r ) sont ouverts et disjoignent pour tout le r
pour le r < s , le V ( s ) est contenu dans le complément du U ( r ) et le complément du V ( r ) est contenu dans le U ( s )

Puisque le complément du V ( r ) est fermé et contient le U ( r ), le dernier état puis implique la condition (2) d'en haut.

Cette construction procède par l'induction mathématique . Puisque le X est normal, nous pouvons trouver deux pour disjoindre le ouvert U (1/2) d'ensembles et le V (1/2) qui contiennent le A et le B , respectivement. Supposer maintenant que ce n ≥1 et le U ( d'ensembles un n de ^{de /2) et le V ( un n} de ^{de /2) ont été déjà construits pour le = 1,…, 2^{le n}-1. Puisque le X est normal, nous pouvons trouver deux pour disjoindre les ensembles ouverts qui contiennent le complément du V ( un n} de ^{de /2) et le complément du U (( un n} de +1)/2^{), respectivement. Appeler le ouvert U de ces deux ensembles (( 2 un n +1} de +1)/2^{) et V (( 2 un n +1} de +1)/2^{), et vérifier les trois conditions ci-dessus.}

Le projet de Mizar de a complètement formalisé et a automatiquement vérifié une preuve du lemme d'Urysohn dans le dossier URYSOHN3.

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