Lagrangien

Le lagrangien, $\backslash \; \{L\}$ mathcal, d'un système dynamique est une fonction qui récapitule la dynamique du système. Il est baptisé du nom de Joseph Louis Lagrange . Le concept d'un lagrangien a été à l'origine présenté dans une reformulation de la mécanique classique connue sous le nom de mécanique lagrangienne . Dans la mécanique classique, le lagrangien est défini comme énergie cinétique , $T$ de , du système sans son énergie potentielle , $V$. Dans les symboles, $de$

\ mathcal {L} = T - V.

Dans les conditions qui sont données dans la mécanique lagrangienne , si le lagrangien d'un système est connu, puis les équations du mouvement du système peut être obtenu par une substitution directe de l'expression pour le lagrangien dans l'équation , une famille particulière d'Euler-Lagrange de des équations différentielles partielles

La formulation de Lagrange

Importance

La formulation de Lagrange de la mécanique est importante pas simplement pour ses larges applications, mais également pour son rôle en avançant l'arrangement profond de la physique . Bien que Lagrange ait seulement cherché à décrire la mécanique classique , le principe d'action de qui est employé pour dériver l'équation de Lagrange est maintenant identifié pour s'appliquer à la mécanique quantique De .

L'action physique et la phase quantum-mécanique de (vagues) sont connexes par l'intermédiaire du constant de Planck de , et le principe de du ''' stationnaire d'action de ''' peut être compris en termes d'interférence constructive des fonctions d'onde

Le même principe, et le formalisme de Lagrange, sont attachés étroitement au théorème de Noether de , qui rapporte les quantités conservées par physique aux symétries continues d'un système physique.

La mécanique lagrangienne et le théorème de Noether de rapportent ensemble un formalisme normal pour la première quantification en incluant les collecteurs entre certaines limites des équations du mouvement lagrangiennes pour un système physique.

Avantages par rapport à d'autres méthodes

le

la formulation n'est attaché à aucun un système du même rang -- en revanche, n'importe quel $commode\; de\; variables\; \backslash \; varphi\_i$ peut être employé pour décrire le système ; ces variables s'appellent le " ; Le a généralisé le " des coordonnées ; et peut être n'importe quelle variable indépendante du système (par exemple, force du champ magnétique à un endroit particulier ; Angle d'une poulie ; position d'une particule dans l'espace ; ou degré d'excitation d'un particulier Eigenmode dans un système complexe). Ceci le rend facile d'incorporer des contraintes à une théorie par la définition des coordonnées qui décrivent seulement les états du système qui satisfont les contraintes. le

si le lagrangien est invariable sous une symétrie, puis les équations du mouvement en résultant sont également de dessous invariable cette symétrie. C'est très utile en prouvant que les théories sont compatibles à la relativité spéciale ou à la relativité générale. les équations de

ont dérivé d'une volonté lagrangienne soient presque automatiquement non ambiguës et conformées, à la différence des équations juste jetées ensemble de diverses sources.

Explication

Les équations du mouvement sont obtenues au moyen d'un principe de l'action , écrit comme : $\backslash \; frac\; de$

{\ delta \ mathcal {S}} {\ delta \ varphi_i} = 0

là où l'action , S de , est un fonctionnel $de$

\ {S} = mathcal \ international {\ mathcal {L} {} \, \ ^ns du mathrm {d}},

et où $\{\}\; \{\}\; \{\}\; \{\}\; \backslash \; s\_\; \backslash \; alpha$ dénote le réglé des paramètres du système.

Les équations du mouvement obtenues au moyen du dérivé fonctionnel sont identiques aux équations habituelles d'Euler-Lagrange de . Des systèmes dynamiques dont les équations du mouvement sont procurables au moyen d'un principe d'action sur un lagrangien convenablement choisi sont connus comme systèmes dynamiques lagrangiens de . Les exemples des systèmes dynamiques lagrangiens s'étendent de la version classique du modèle standard , aux équations de Newton de , aux problèmes purement mathématiques tels que les équations géodésiques et le problème du du plateau de .

Un exemple de mécanique classique

Dans le système du même rang rectangulaire

Supposer que nous avons un espace tridimensionnel et le lagrangien de

$L\; (\backslash ,\; de\; vec\; \{x\}\; \backslash \; point\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\})\; \backslash \; =\; \backslash \; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \}\; \backslash \; m\; \backslash \; point\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; ^2\; \backslash \; -\; \backslash \; V\; (\backslash \; vec\; \{x\})$.

Puis, l'équation d'Euler-Lagrange est :

$\backslash \; frac\; \{d~\}\; \{décollement\}\; \backslash \; \backslash \; parti\; (\backslash ,\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; L\; partiel\}\; \{\backslash \; \_i\; partiel\; \backslash \; point\; \{x\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; droit)\; \backslash \; -\; \backslash \; \backslash \; frac\; \{\backslash \; L\; partiel\}\; \{\backslash \}\; partiel\; de\; x\_i\; \backslash \; =\; \backslash \; 0$ là où $i\; =\; 1,\; 2,\; 3$.

Les rendements de dérivation :

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; L\; partiel\}\; \{\backslash \; x\_i\; partiel\}\; \backslash \; =\; \backslash \; -\; \backslash \; \backslash \; frac\; \{\backslash \; V\; partiel\}\; \{\backslash \; x\_i\; partiel\}$
$\backslash \; frac\; \{\backslash \; L\; partiel\}\; \{\backslash \; \_i\; partiel\; \backslash \; point\; \{x\}\}\; \backslash \; =\; \backslash \; \backslash \; frac\; \{\backslash \; ~\; partiel\}\; \{\backslash \; \_i\; partiel\; \backslash \; point\; \{x\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; parti\; (\backslash ,\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \}\; \backslash \; m\; \backslash \; point\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; ^2\; \backslash ,\; \backslash \; droit)\; \backslash \; =\; \backslash \; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; m\; \backslash \; \backslash \; frac\; \{\backslash \; ~\; partiel\}\; \{\backslash \}\; partiel\; \backslash \; de\; point\; \{x\}\; \_i\; \backslash ,\; \backslash \; a\; laissé\; (\backslash ,\; \backslash \; \_i\; de\; point\; \{x\}\; \backslash ,\; \backslash \; \_i\; de\; point\; \{x\}\; \backslash ,\; \backslash \; droit)\; =\; \backslash \; m\; \backslash ,\; \backslash \; \_i\; du\; point\; \{x\}$

$\backslash \; frac\; \{d~\}\; \{décollement\}\; \backslash \; \backslash \; parti\; (\backslash ,\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; L\; partiel\}\; \{\backslash \}\; partiel\; \backslash \; de\; point\; \{x\}\; \_i\; \backslash ,\; \backslash )\; droit\; \backslash \; =\; \backslash \; m\; \backslash ,\; \backslash \; \_i$ du ddot {x}

Les équations d'Euler-Lagrange peuvent donc être écrites comme : + de $m\; \backslash \; ddot\; de$

{\ vec {x}} \ nabla V=0

là où le dérivé de temps est écrit par convention car un point au-dessus de la quantité étant différenciée, et le $\backslash \; nabla$ est le del operator .

Using ce résultat, il peut facilement montrer que l'approche lagrangienne est équivalente à la newtonienne.

Si la force est écrite en termes de $\backslash \; vec\; potentiels\; \{F\}\; =\; -\; \backslash \; nabla\; V\; (x)$ ; l'équation en résultant est =m de $\backslash \; vec\; \{F\}\; \backslash \; ddot\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}$, qui est exactement la même équation que dans une approche newtonienne pour un objet de masse constant.

Une déduction très semblable nous donne le $d\text{'}expression\; \backslash \; =\; du\; vec\; \{F\}\; \backslash /du\; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; vec\; \{p\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t$, qui est la loi de Newton en second lieu sous sa forme générale.

Dans le système du même rang sphérique

Supposer que nous avons un espace tridimensionnel using le $r\; sphérique\; des\; coordonnées\; ,\; \backslash ,\; de\; thêta\; \backslash \; phi$ avec le lagrangien (de $\backslash \; frac\; de$

2} {m} {\ point {r} ^2+r^2 \ point {\ thêta} ^2 +r^2 \ sin^2 \ thêta \ point {\ varphi} ^2) - V (r).

Alors les équations d'Euler-Lagrange sont : $m\; de$

\ ddot {r} - M. (\ point {\ thêta} ^2+ \ sin^2 \ thêta \ point {\ varphi} ^2)+V =0, $$ \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (mr^2 \ point {\ thêta}) - mr^2 \ péché \ thêta \ cos \ thêta \ point {\ varphi} ^2=0, $$ \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (mr^2 \ sin^2 \ thêta \ point {\ varphi}) =0.

Ici l'ensemble de paramètres $s\_i$ est juste le temps $t$, et le $dynamique\; de\; variables\; \backslash \; phi\_i$ sont le $detrajectoire\backslash \; vec\; X\; (t)$ de la particule.

En dépit de l'utilisation des variables standard telles que $x$, le lagrangien permet l'utilisation de toutes les coordonnées, qui n'ont pas besoin d'être orthogonales. Ce sont " ; Le a généralisé le " des coordonnées ;.

Lagrangien d'une particule d'essai

Une particule d'essai est une particule simplifiée hypothétique de point sans des propriétés autres que la masse et la charge. Les vraies particules comme des électrons et des vers le haut-quarks sont plus complexes et ont des limites additionnelles dans leur Lagrangians.

Particule d'essai classique avec la pesanteur newtonienne

Le lagrangien est $L\; \backslash \; !\; Joules\; de$. Donné une particule avec le $m\; de\; masse\; \backslash \; !\; kilogrammes\; de$, et mètres de $deposition\backslash \; vec\; \{x\}$ dans un champ de gravité newtonien avec le $\backslash \; zéta\; potentiels\; \backslash \; !\; Joules\; de$ par kilogramme. La ligne du monde des particules est paramétrisée par le $t\; de\; temps\; \backslash \; !\; secondes\; de$. L'énergie cinétique des particules est :

$T\; =\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; m\; \backslash point\{\backslash \}\; de\; vec\; \{x\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; point\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}$

et l'énergie potentielle de la gravité des particules est : $V\; de$

= m \ zéta [t, t].

Ainsi le lagrangien est : $de$

L = T - V = {1 \ plus de 2} m \ point {\} de vec {x} \ cdot \ point {\ vec {x}} - m \ zéta [t, t].

Variant $\backslash \; vec\; \{\}\; de\; x\; \backslash \; !$ dans l'intégrale (équivalente à l'équation d'Euler Lagrange), nous obtenons

$0\; =\; \backslash \; delta\; \backslash \; international\; \{L\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\; =\; \backslash \; international\; \{\backslash \; delta\; L\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}$
$=\; \backslash \; international\; \{m\; \backslash \; point\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; point\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; vec\; \{x\}\}\; -\; m\; \backslash \; nabla\; \backslash zéta[t,\; t]\; \backslash \; cdot\; \backslash \; delta\; \backslash \; vec\; \{\}\; de\; x\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}.$

Intégrer par des pièces et jeter toute l'intégrale. Diviser alors dehors la variation pour obtenir

$0\; =\; -\; m\; \backslash \; ddot\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; -\; m\; \backslash \; nabla\; \backslash \; zéta\; [t,\; t]$

et ainsi $m\; \backslash \; ddot\; de$

{\ vec {x}} = - m \ nabla \ zéta [t, t] . (1)

est l'équation du mouvement le &mdash ; deux expressions différentes la force.

Particule d'essai relativiste spéciale avec l'électromagnétisme

Dans la relativité spéciale, la forme de la limite qui provoque le dérivé de l'élan doit être changée ; ce n'est plus l'énergie cinétique. Il devient :

$-\; m\; c^2\; \backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; tau\}\; \{d\; t\}\; =\; -$ =\; m\; c^2\; \backslash \; racine\; carrée\; \{1\; -\; \backslash \; frac\; \{v^2\}\; \{c^2\}\}$-\; m\; c^2\; +\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; m\; v^2\; +\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 8\}\; m\; \backslash \; frac\; \{v^4\}\; \{c^2\}\; +\; \backslash \; points$

(Dans la relativité spéciale, l'énergie d'une particule d'essai libre est $m\; c^2\; \backslash \; frac\; \{décollement\}\; \{d\; \backslash \; tau\}\; =\; \backslash \; frac\; \{m\; c^2\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{1\; -\; \backslash \; frac\; \{v^2\}\; \{c^2\}\}\}\; =\; +m\; c^2\; +\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; m\; v^2\; +\; \{3\; \backslash \; plus\; de\; 8\}\; m\; \backslash \; frac\; \{v^4\}\; \{c^2\}\; +\; \backslash \; points$)

là où $c\; \backslash \; !\; les\; mètres\; de$ par seconde est la vitesse de la lumière dans le vide, le $\backslash \; tau\; \backslash \; !$ seconde est approprié temps (c. temps mesuré par une horloge se déplaçant avec la particule) et $v^2\; =\; \backslash \; point\; \{\backslash \}\; de\; vec\; \{x\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; point\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}.Notificationde$ que la deuxième limite de la série est juste l'énergie cinétique classique. Supposer que la particule a le $q\; de\; charge\; électrique\; \backslash \; !\; les\; coulombs\; de$ et est dans un champ électromagnétique avec le $\backslash \; phi\; scalaires\; du\; potentiel\; \backslash \; !\; volts\; de$ (volt est un Joule par coulomb) et secondes potentielles de volt de $\backslash \; vec\; du\; vecteur\; \{A\}$ par mètre. Le lagrangien d'une particule d'essai relativiste spéciale dans un champ électromagnétique est :

$L\; =\; -\; m\; c^2\; \backslash \; racine\; carré\; \{1\; -\; \backslash \; frac\; \{v^2\}\; \{c^2\}\}\; -\; q\; \backslash \; phi,\; t]\; +\; q\; \backslash \; point\; \{\backslash \}\; de\; vec\; \{x\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; vec\; \{A\},\; t]$

Variant ceci en ce qui concerne le $\backslash \; vec\; \{x\}$, nous obtenons

$0\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{\}\; de\; d\}\; \{d\; t\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; frac\; \{m\; \backslash \; point\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{1\; -\; \backslash \; frac\; \{v^2\}\; \{c^2\}\}\}\; \backslash \; bon)\; -\; q\; \backslash \; nabla\; \backslash \; phi,\; t]\; -\; q\; \backslash \; partial\_t\; \{\backslash \; vec\; \{A\}\},\; t]\; -\; q\; \backslash \; point\; \{\backslash \}\; de\; vec\; \{x\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; \backslash \; vec\; \{A\},\; t]\; +\; q\; \backslash \; nabla\; \{\backslash \; vec\; \{A\}\},]\; de\; t\; \backslash \; cdot\; \backslash \; point\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}$

ce qui est

$\backslash \; frac\; \{\}\; de\; d\}\; \{d\; t\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; frac\; \{m\; \backslash \; point\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{1\; -\; \backslash \; frac\; \{v^2\}\; \{c^2\}\}\}\; \backslash \; droit)\; =\; q\; \backslash \; vec\; \{E\},\; t]\; +\; q\; \backslash \; point\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; \backslash \; périodes\; \backslash \; vec\; \{B\},\; t]$

ce qui est l'équation la force de Lorentz où $de$

\ vec {E} = - \ nabla \ phi - \ = de $\backslash \; vec$
du partial_t {\ vec {A}} {B} \ nabla \ périodes \ vec {A}

Particule d'essai relativiste générale

Dans la relativité générale , la première limite généralise (inclut) l'énergie cinétique classique et interaction avec le potentiel de la gravité newtonien. Elle devient : $-\; m\; c^2\; de$

\ $=$
du frac {d \ tau} {d t} - m c \ racine carré {- g_ {\ alpha \ bêta}] \ frac {x^ de d {\} d'alpha}} {d t \ frac {x^ de d {\ bêta}} {d t}}.

Le lagrangien d'une particule d'essai relativiste générale dans un champ électromagnétique est : $de$

L = - m c \ racine carré {-] de g_ {\ alpha \ bêta} \ frac {x^ de d {\ alpha}} {d t} \ frac {x^ de d {\ bêta}} {d t}} + q \ frac {x^ de d {\ gamma}} {d t} A_ {\ gamma}].

Si quatre espace-temps coordonnée $x^\; \{\backslash \}\; d\text{'}alpha\; \backslash \; !$ sont donné dans arbitraire unité (c. unité-moins), puis $g\_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; bêta\}\; \backslash \; !\; les\; mètres\; de$ carrés est le tenseur métrique symétrique du grade 2 qui est également le potentiel de la gravité. En outre, $A\_\; \{\backslash \}\; degamma\backslash \; !\; les\; secondes\; de\; volt\; de$ est le potentiel électromagnétique de 4 vecteurs. Noter qu'un facteur du c a été absorbé dans la racine carrée parce que c'est l'équivalent de $c\; de$

\ =, \ racine carrée {1 - \ frac {v^2} {c^2}} \ racine carrée {- (- c^2 + v^2)}. Noter que cette notion a été directement généralisée de la relativité spéciale

Lagrangians et densités lagrangiennes dans la théorie des champs

L'intégrale de temps du lagrangien s'appelle l'action dénotée par $S$.
Dans la théorie des champs , une distinction est de temps en temps faite entre le $L$ lagrangien, dont l'action est l'intégrale de temps : $de$

\ {S} = mathcal \ international {L \, \ mathrm {d} t}

et le $lagrangien\; de\; la\; densité\; de\; \backslash \; \{L\}$ mathcal, lesquels intègre au-dessus de tout l'espace-temps pour obtenir l'action : $de$

\ {S} = mathcal \ international {\ {L} (x) mathcal \, \ mathrm {d} ^4x}

Le lagrangien est alors l'intégrale spatiale de la densité lagrangienne. Cependant, le $\backslash \; \{L\}$ mathcal s'appelle également fréquemment simplement le lagrangien, particulièrement dans l'utilisation moderne ; il est bien plus utile dans des théories relativistes du puisque c'est un localement défini, champ scalaire du de Lorentz . Les deux définitions du lagrangien peuvent être vues en tant que cas spéciaux de la forme générale, selon si le $\backslash \; vec\; variables\; spatiaux\; x$ est incorporé à l'index $i$ ou aux paramètres $s$ dans le $\backslash \; varphi\_i$. Les théories des champs de Quantum dans la physique de particules de , tel que l'électrodynamique de Quantum de , sont habituellement décrites en termes de $\backslash \; \{L\}$ mathcal, et les limites sous cette forme du lagrangien traduisent rapidement aux règles utilisées dans les diagrammes de évaluation de Feynman de

Champs choisis

Pour être assorti à la section sur des particules d'essai ci-dessus, voici les équations pour les champs lesquels elles se déplacent. Les équations ci-dessous concerne les champs dans lesquels les particules d'essai ont décrit au-dessus du mouvement et permettent le calcul de ces champs. Les équations ci-dessous ne te donneront pas les équations du mouvement d'une particule d'essai dans le domaine mais te donneront à la place le potentiel (champ) induit par des quantités telles que la densité à un point quelconque $$ de la masse ou de charge. Par exemple, dans le cas de la pesanteur newtonienne, la densité lagrangienne intégrée au-dessus de l'espace-temps te donne une équation qui, si résolu, rapporterait le $\backslash \; zéta$. Ces $\backslash \; zéta$, une fois remplacés en arrière dans l'équation (1), l'équation lagrangienne la particule d'essai dans un champ gravitationnel newtonien, fournit les informations requises pour calculer l'accélération de la particule.

Pesanteur newtonienne

Le lagrangien (densité) est $\backslash \; \{L\}\; Joules\; mathcal\; de$ par mètre cube. Le $m\; \backslash \; zéta\; de\; limite\; d\text{'}interaction\; \backslash \; !$ est remplacé par une limite impliquant un $de\; masse\; continu\; de\; densité\; \backslash \; MU\; \backslash \; !\; kilogrammes\; de$ par mètre cube. C'est nécessaire parce que l'utilisation d'une source ponctuelle pour un champ aurait comme conséquence des difficultés mathématiques. Résulter lagrangien pour le champ gravitationnel classique est : $de$

\ mathcal {L} = - \ MU \ zéta - {1 \ plus de 8 \ pi G} (\ nabla \ zéta) ^2

là où $G\; \backslash \; !les\; mètresde$ cubés par kilogramme en second lieu carré est la constante de la gravité . Variation de l'intégrale en ce qui concerne le $\backslash \; zéta\; \backslash \; !$ donne :

$0\; =\; -\; \backslash \; MU\; \backslash \; delta\; \backslash \; zéta\; -\; \{2\; \backslash \; plus\; de\; 8\; \backslash \; pi\; G\}\; (\backslash )\; de\; nabla\; \backslash \; zéta\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; delta\; \backslash \; zéta).$

Intégrer par des pièces et jeter toute l'intégrale. Diviser alors dehors par le $\backslash \; delta\; \backslash \; zéta\; \backslash \; !$ à obtenir :

$0\; =\; -\; \backslash \; MU\; +\; \{1\; \backslash \; plus\; de\}\; de\; 4\; \backslash \; pi\; G\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; \backslash \; zéta$

et ainsi

$4\; \backslash \; pi\; G\; \backslash \; MU\; =\; \backslash \; nabla^2\; \backslash \; zéta.$

Électromagnétisme dans la relativité spéciale

Interaction nomme $-\; q\; \backslash \; phi,\; t]\; +\; q\; \backslash \; point\; \{\backslash \}\; de\; vec\; \{x\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; vec\; \{A\},\; t]$ sont remplacés par des limites impliquant un $\backslash \; rho\; continus\; de\; densité\; de\; charge\; \backslash \; !$ coulomb par mètre cube et courant densité $\backslash \; vec\; \{\}\; de\; j\; \backslash \; !\; ampères\; de$ par mètre carré. Résulter lagrangien pour le champ électromagnétique est : $de$

\ mathcal {L} = - \ rho \ phi + \ vec {} de j \ cdot \ vec {A} + {\ epsilon_0 \ plus de 2} {E} ^2 - {1 \ plus de {2 \ mu_0}} {B} ^2.

Variation de ceci en ce qui concerne le $\backslash \; phi\; \backslash \; !$, nous obtenons

$0\; =\; +\; -\; \backslash \; rho\; \backslash \; epsilon\_0\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; vec\; \{E\}$

ce qui rapporte la loi des gauss de .

Variant à la place en ce qui concerne le $\backslash \; vec\; \{A\}$, nous obtenons

$0\; =\; \backslash \; vec\; \{j\}\; +\; \backslash \; epsilon\_0\; \backslash \; partial\_t\; \backslash \; vec\; \{E\}\; -\; \{1\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; mu\_0\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; périodes\; \backslash \; vec\; \{B\}$

ce qui rapporte la loi d'Ampère de .

Relativité d'électromagnétisme en général

Pour le lagrangien de la relativité de pesanteur en général, voir l'action d'Einstein-Hilbert de . Le lagrangien du champ électromagnétique est : $de$

\ mathcal {L} = + J^ {\ gamma} A_ {\ gamma} - {1 \ plus de 4 \ mu_0} F_ {\ MU \ NU} F_ {\ alpha \ bêta} g^ {\ MU \ alpha} g^ {\ NU \ bêta} \ racine carrée {\ frac {- 1} {c^2} \ mathrm {det}]}

Si quatre espace-temps coordonnée $x^\; \{\backslash \}\; d\text{'}alpha\; \backslash \; !$ sont donnés dans les unités arbitraires, puis : le $\backslash \; \{L\}\; secondes\; mathcal\; de\; Joule\; de$ est le lagrangien, une densité scalaire ; $J^\; \{\backslash \}\; de\; gamma\; \backslash \; !\; les\; coulombs\; de$ est le courant, une densité de vecteur ; et $F\_\; \{\backslash \}\; de\; MU\; \backslash \; du\; NU\; \backslash \; !\; les\; secondes\; de\; volt\; de$ est le tenseur électromagnétique , un tenseur antisymmétrique de de covariant du grade deux. Notent que cause déterminant sous carré racine signe est appliqué à matrice de composant de covariant métrique tenseur $g\_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; bêta\}\; \backslash \; !$, et $g^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; bêta\}\; \backslash \; !$ est son inverse. Noter que les unités du lagrangien changé parce que nous intégrons au-dessus de $x^0,\; x^1,\; x^2,\; x^3\; \backslash \; !$ qui sont unité-moins plutôt qu'au-dessus du $t,\; x,\; y,\; z\; \backslash \; !$ qui ont des unités des mètres de secondes cubés. Le tenseur de champ électromagnétique est constitué par anti-symmetrizing le dérivé partiel du potentiel électromagnétique de vecteur ; ainsi ce n'est pas une variable indépendante. La racine carrée est nécessaire pour convertir cette limite en densité scalaire au lieu juste d'une grandeur scalaire, et pour compenser également le changement des unités des variables de l'intégration. Le facteur du $\backslash \; du\; frac\; \{-\; 1\}\; \{c^2\}$ à l'intérieur de la racine carrée est nécessaire pour la normaliser de sorte que la racine carrée réduise à une dans la relativité spéciale (puisque la cause déterminante est le $-\; c^2\; \backslash \; !$ dans la relativité spéciale).

Lagrangians en théorie des champs de quantum

Dirac lagrangien

La densité lagrangienne pour un champ de Dirac de est : $de$

\ {L} = mathcal \ barre \ livre par pouce carré (I \ c hbar \ pas \ ! D - mc^2) \ psi

là où $\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; \backslash \; !$ est un spineur , $\backslash \; barre\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; de\; =\; \backslash \; psi^\; \backslash \; poignard\; \backslash \; gamma^0$ est son adjoint , $D\; de\; Dirac\; de\; \backslash \; !$ est le dérivé de covariant de mesure de , et $\backslash \; pas\; \backslash \; !\; D$ est la notation de Feynman de pour le $\backslash \; gamma^\; \backslash \; sigma\; D\_\; \backslash \; sigma\; \backslash \; !$.

Lagrangien électrodynamique de Quantum

La densité lagrangienne pour le QED est : $de$

\ = mathcal du _ {L} {\ mathrm {QED}} \ barre \ livre par pouce carré (I \ c hbar \ pas \ ! D - mc^2) \ livre par pouce carré - {1 \ plus de 4 \ mu_0} F_ {\ MU \ NU} F^ {\ MU \ NU}

là où $F^\; \{\backslash \}\; de\; MU\; \backslash \; du\; NU\; \backslash \; !$ est le tenseur électromagnétique

Lagrangien chromodynamic de Quantum

La densité lagrangienne pour le chromodynamics de Quantum de est : $de$

\ = mathcal du _ {L} {\ mathrm {QCD}} \ sum_n \ barre \ psi_n (I \ c hbar \ pas \ ! D - m_n c^2) \ psi_n - {1 \ plus de 4} G^ \ alpha {} _ {\ MU \ NU} G_ \ alpha {} ^ {\ MU \ NU}

là où $D\; \backslash \; !$ est QCD mesure covariant dérivé , et $G^\; \backslash \; alpha\; \{\}\; \_\; \{\backslash \}\; de\; MU\; \backslash \; du\; NU\; \backslash \; !$ est le tenseur de l'intensité de champ de de gluon .

Formalisme mathématique

Supposer que nous avons un n - tubulure dimensionnelle , $M$, et une tubulure de cible, $T$. Laisser le $\backslash \; \{C\}$ mathcal soit l'espace de configuration des fonctions douces de $M$ à $T$.

Exemples le

dans la mécanique classique , dans le formalisme hamiltonien du , $M$ est le $\backslash \; mathbb\; divers\; unidimensionnels\; \{R\}$, représentant le temps et l'espace de cible est le paquet de Cotangent de de l'espace des positions généralisées. le
dans la théorie des champs, $M$ est la tubulure de l'espace-temps et l'espace de cible est l'ensemble de valeurs que les champs peuvent prendre à n'importe quel point donné. Par exemple, s'il y a le vrai - $des\; champs\; scalaires\; \backslash \; phi\_\; évalués\; \{1\}\; de\; m,\dots ,\; \backslash \; phi\_\; \{m\}$, alors la tubulure de cible est $\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^m$. Si le champ est un vrai champ de vecteur , alors la tubulure de cible est le isomorphe au $\backslash \; au\; mathbb\; \{R\}\; ^n$. Il y a réellement une manière beaucoup plus élégante using les paquets de tangente de au-dessus de $M$, mais nous collerons juste à cette version.

Développement mathématique

Considérer un fonctionnel, $\backslash \; mathcal\; \{S\}\; :\; \backslash \; mathcal\; \{\}\; de\; C\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}$, appelé l'action . Les raisons physiques déterminent que c'est un traçant au $\backslash \; au\; mathbb\; \{R\}$, pas $\backslash \; mathbb\; \{C\}$.

Afin de l'action être locale, nous ont besoin des restrictions additionnelles à l'action . Si le $\backslash \; varphi\; \backslash \; dans\; \backslash \; \{C\}$ mathcal, nous supposent que $\backslash \; mathcal\; \{S\}$ est le intégral au-dessus de $M$ d'une fonction du $\backslash \; phi$, de ses dérivés et de la position appelée le lagrangien, $\backslash \; mathcal\; \{L\}\; (\backslash \; varphi,\; \backslash \; partiel\; \backslash \; varphi,\; \backslash \; partiel\; \backslash \; partiel\; \backslash \; varphi,\dots ,\; x)$. En d'autres termes,

$\backslash \; forall\; \backslash \; varphi\; \backslash \; dans\; \backslash \; mathcal\; \{C\},\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; mathcal\; \{S\}\; \backslash \; équivalent\; \backslash \; int\_M\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^nx\; \backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash grand(\backslash \; varphi\; (x),\; \backslash \; partiel\; \backslash \; varphi\; (x),\; \backslash \; partiel\; \backslash \; partiel\; \backslash \; varphi\; (x),\dots ,\; x\; \backslash \; grand).$

On le suppose ci-dessous, en outre, que le lagrangien dépend seulement de la valeur de champ et de sa première dérivée mais pas des dérivés plus hauts.

Donné frontière condition fondamentalement spécification de valeur de $\backslash \; phi$ à frontière si $M$ est le compact ou une certaine limite sur le $\backslash \; phi$ car x approche le $\backslash \; infty$ (ceci aidera en faisant l'intégration de par les pièces ), le sous-espace du $\backslash \; \{C\}\; des\; fonctions\; se\; composer\; mathcal\; de$, le $\backslash \; phi$ tel que tous les dérivés fonctionnels de $S$ au $\backslash \; phi$ sont zéro et le $\backslash \; phi$ remplit les conditions données de frontière est le sous-espace du sur des solutions de la coquille .

La solution est donnée par les équations (grâce d'Euler-Lagrange de aux conditions de frontière , = de $\backslash \; frac\; de$

{\ delta \ mathcal {S}} {\ delta \ varphi} \ partial_ \ MU \ parti (\ frac {\ partiel \ mathcal {L}} {\ partiel (\ partial_ \ MU \ varphi)}\) + droit \ frac {\ partiel \ mathcal {L}} {\ partiel \ varphi} =0.

Le côté de main gauche est le dérivé fonctionnel de l'action en ce qui concerne le $\backslash \; phi$.

Voir également

class=" de

.

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