La loi de Poiseuille

La loi de Poiseuille de est la loi physique au sujet du laminaire du volumique que stationnaires passent le Φ d'un liquide visqueux du uniforme incompressible du (fluide newtonien de soi-disant ) par un tube cylindrique avec la section transversale circulaire constante. La loi de Poiseuille s'appelle également parfois la loi de Hagen-Poiseuille de comprenant la référence au Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen ( 1797 - 1884 ) pour ses expériences dans le 1839 . La loi de Poiseuille a été expérimentalement dérivée dans le 1838 et a formulé et a édité dans le 1840 et le 1846 par le Jean Louis Marie Poiseuille ( 1797 - 1869 ). La loi de Poiseuille de peut être exprimée sous la forme suivante :

$\ phi = \ frac {dV} {décollement} = v \ pi R^ {2} = \ frac {\ pi R^ {4}} {8 \ eta} \ parti (\ frac {- \ delta P} {\ delta X} \ droit) = \ frac {\ pi R^ {4}} {} de 8 \ eta \ frac { |\ Delta P|} {L}$

là où le V est un volume du liquide, versé dedans le t d'unité de temps, le v la vitesse liquide moyenne sur la longueur du tube, le X la direction du flux, le R le rayon interne du tube, le ΔP la différence de pression entre les deux extrémités, le η de la viscosité liquide dynamique , et le L toute la longueur du tube dans la direction du X . Ce résultat est également une solution à l'équation phénoménologique de Darcy-Weisbach de dans le domaine de l'hydraulique , donné un rapport pour le facteur de frottement en termes de nombre de Reynolds :

$\ lambda = {64 \ plus de {\ il au sujet de}} \ ; , \ quadruple \ quadruple au sujet de = {2 \ rho v r \ au-dessus de \} d'eta \ ; ,$

là où le au sujet de est le nombre de Reynolds et densité de fluide du ρ de . Sous cette forme la loi rapproche le facteur de frottement de Darcy de , le facteur de perte (principal) d'énergie de , le facteur de perte de frottement de ou le facteur de Darcy de (frottement) Λ dans l'écoulement laminaire aux vitesses très basses dans le tube cylindrique. La dérivation théorique d'une forme légèrement différente de la loi a été faite indépendamment par Wiedman dans le 1856 et Neumann et E. Hagenbach dans le 1858 ( 1859 , 1860 ). Hagenbach était le premier qui a appelé ce la loi la loi du Poiseuille.

La loi est également très importante particulièrement en Hemorheology et hémodynamique , les deux champs de de la physiologie .

La loi du Poiseuilles était plus tardive dans le 1891 prolongé à l'écoulement turbulent par L. Wilberforce, basé sur le travail de Hagenbach.

Dérivation

Viscosité

La dérivation de la loi de Poiseuille est étonnant simple, mais elle exige un arrangement de la viscosité . Quand deux couches de mouvement en contact mutuel liquide à différentes vitesses, il y aura une force entre elles. Cette force est le proportionnel au secteur du A , la différence de contact de vitesse dans le y du Δv_x /Δ de direction du flux, et un η constant proportionnalité et est donnée près

F_ de  {\ texte {viscosité, dessus}} = - \ eta A \ frac {\ v_x de delta} {\ delta y}

Le signe négatif est dedans là parce que nous sommes concernés par le liquide mobile plus rapide (dessus dans la figure), qui est ralenti par le liquide plus lent (le fond dans la figure). Par loi de Newton de la troisième du mouvement , la force sur le liquide plus lent est égale et opposé (aucun signe négatif) à la force sur le liquide plus rapide. Cette équation suppose que la superficie de contact est si grande que nous pouvons ignorer tous les effets à partir des bords et que les fluides se comportent comme fluides newtoniens

Le liquide traversent une pipe

Dans un tube nous faisons une prétention de base : le liquide au centre est déplacement le plus rapide tandis que le liquide touchant les murs du tube est stationnaire (en raison de frottement ). simplifier la situation, nous laisser supposent qu'il y a un groupe de couches circulaires (lame) de liquide, chacun qui fait déterminer une vitesse seulement par leur distance radiale du centre du tube.

Pour figurer dehors le mouvement du liquide, nous devons connaître toutes les forces agissant sur chaque lame : La force poussant le liquide par le tube est le changement de la pression multipliée par le secteur : F = - ΔPA . Cette force est dans la direction du mouvement du liquide - le signe négatif vient de la manière conventionnelle que nous définissons le $\ delta P = P_ {extrémité} - P_ {dessus} < 0$ .

La traction de la lame plus rapide immédiatement plus près du centre du

de tube La drague de la lame plus lente immédiatement plus près des murs du tube

Le premier de ces forces vient de la définition de la pression . Les deux autres forces exigent de nous de modifier les équations au-dessus de cela que nous prenons pour la viscosité . En fait, nous ne modifions pas les équations, au lieu de cela simplement branchant en valeurs spécifiques à notre problème. Concentrons sur la traction de la lame plus rapide (#2) première.

Une lame plus rapide

Supposer que nous figurons dehors la force sur la lame avec le s du rayon . De l'équation ci-dessus, nous devons savoir le secteur du contact et du gradient de vitesse. Penser à la lame comme cylindre du s de rayon et du ds d'épaisseur. La superficie de contact entre la lame et la plus rapide est simplement le secteur de l'intérieur du cylindre : A = 2πsΔx . Nous ne connaissons pas la forme exacte pour la vitesse du liquide dans le tube encore, mais nous savons (de notre prétention ci-dessus) qu'elle dépend du rayon. Par conséquent, le gradient de vitesse est le changement de de la vitesse en ce qui concerne le changement du rayon à l'intersection de ces deux lames. Cette intersection est à un rayon de s . Ainsi, considérant que cette force sera positive en ce qui concerne le mouvement du liquide (mais en ce qui concerne le dérivé de la vitesse est négatif), la forme finale de l'équation devient

F_ de  {\ texte {la viscosité, jeûnent}} = - \ eta 2 \ pi s \ delta X \ est parti.} \ droit \ vert_s

là où le s de barre verticale et d'indice inférieur suivant le dérivé indique qu'il devrait être pris à un rayon de s .

Une lame plus lente

Après trouvons la force de la drague de la lame plus lente. Nous devons calculer les mêmes valeurs que nous avons fait la force de la lame plus rapide. Dans ce cas-ci, la superficie de contact est au s + ds au lieu du s . En outre, nous devons nous rappeler que cette force s'oppose à la direction du mouvement du liquide et sera donc négative (et que le dérivé de la vitesse est négatif).

${la viscosité, ralentissent}} = \ eta 2 \ pi) (de s+ds \ delta X \ est parti.} \ droit \ vert_ {s+ds}$

Le remontant tout

Pour trouver la solution pour l'écoulement du liquide par un tube, nous devons faire une dernière prétention. Il n'y a aucune accélération de liquide dans la pipe, et par loi de Newton de la première, il n'y a aucune force nette. S'il n'y a aucune force nette puis nous pouvons ajouter toutes les forces ensemble pour obtenir zéro

0 de  = F_ {\ texte {pression}} + F_ {\ texte {la viscosité, jeûnent}} + F_ {\ texte {la viscosité, ralentissent}}

$\ vert_s + \ eta 2 \ pi) (de s+ds \ delta X \ est parti.} \ droit \ vert_ {s+ds}$

Avant que nous nous déplacions plus loin, nous devons simplifier cette équation laide. D'abord, pour obtenir tout qui se produit au même point, nous devons faire une expansion de série de Taylor du gradient de vitesse, gardant seulement le des limites quadratiques linéaires de et (un tour mathématique standard). $de \ parti.} \ droit \ vert_ {r+dr} = \ est parti.} \ droit \ vert_r + \ est parti. \ frac {d^2 v} {dr^2} \ Dr.$ droit \ vert_r

Employons cette relation dans notre équation. En outre, employons le r au lieu du s puisque la lame que nous avons choisie était arbitraire et nous voulons que notre expression soit valide pour toutes les lames. Groupant comme des limites et laisser tomber la barre verticale puisqu'on assume que tous les dérivés sont au r de rayon, $0 de = - \ delta P2 \ rdr de pi + \ Dr. de l'eta 2 \ pi \ delta X \ frac {dv} {Dr. de l'eta 2 \ pi r \ + du delta X \ frac {d^2 v} {dr^2} \ eta 2 \ pi (Dr.) ^2 \ delta X \ frac {d^2 v} {dr^2}$

En conclusion, nous laisser obtiennent ceci sous forme d'équation , déplaçant quelques limites autour pour la faciliter pour résoudre plus tard, et négligeant l'équation quadratique de limite dans Dr. de puisque ce sera vraiment petit comparé au repos (un autre tour mathématique standard).

$\ frac {1} {\ eta} \ frac {\ delta P} {\ delta X} = \ frac {d^2 v} {dr^2} + \ frac {1} {} de r \ frac {dv} {Dr.}$

Il peut voir que les deux côtés des équations sont négatifs : il y a une baisse de pression le long du tube (aile gauche) et les premiers et deuxièmes dérivés de la vitesse sont négatifs (la vitesse a une valeur maximum du centre du tube). Ce type d'équation a des solutions du v de forme = A + Br ² de . Pour résoudre, nous substituerons ceci dans notre équation et résoudrons pour le A et le B .

$\ frac {1} {\} d'eta \ frac {\ delta P} {\ delta X} = 2B + \ frac {1} {r} 2Br = 4B$

ceci signifie cela

$B = \ frac {1} {} de 4 \ eta \ frac {\ delta P} {\ delta X}$

pour résoudre pour le A nous emploierons la prétention que nous avons faite au début qu'au mur du tube ( r = R ) la vitesse doit être 0.

$v = 0 = A + \ frac {1} {} de 4 \ eta \ frac {\ delta P} {\ delta X} R^2$

$A = - \ frac {1} {} de 4 \ eta \ frac {\ delta P} {\ delta X} R^2$

Maintenant nous avons une formule pour la vitesse du liquide se déplaçant par le tube en fonction de la distance du centre du tube $v de = - \ frac {1} {} de 4 \ eta \ frac {\ delta P} {\ delta X} (R^2 - r^2)$

ou, au centre du tube où le liquide se déplace le plus rapidement ( r = 0) avec le R étant le rayon du tube,

$v_ {maximum} = - \ frac {1} {} de 4 \ eta \ frac {\ delta P} {\ delta X} R^2$

La loi de Poiseuille

Pour obtenir tout le volume qui traverse le tube, nous devons ajouter les contributions de chaque lame. Pour calculer le traverser chaque lame, nous multiplions la vitesse (de ci-dessus) et le secteur de la lame.

de  \ = du phi (r) \

du frac {1} {4 \ eta} \ frac Analogie des circuits électriques

On a à l'origine compris que l'électricité est un genre de fluide. Cette analogie hydraulique est toujours conceptuellement utile. La loi de Poiseuille correspond à la loi d'ohm pour les circuits électriques ( V = IR ), où le P de la chute de pression de pression Δ est analogue au V de la tension et le débit volumique Φ est analogue au courant I du . Puis = de

\ frac {8 \ eta \ delta X} {\ pi r^4}

Ce concept est utile parce que la résistance efficace dans un tube est inversement proportionnelle à la quatrième puissance du rayon. Ceci signifie que halfing la taille du tube augmente la résistance au mouvement liquide par 16 fois.

La loi d'ohm et la loi de Poiseuille illustrent les phénomènes de transport .

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