La loi de Hooke

mécanique d'ontinuum Dans la physique , la loi de Hooke de de l'élasticité est une approximation que des déclarer que la quantité par laquelle un corps matériel est déformé (la contrainte ) est linéairement liée à la force causant la déformation (l'effort ). Des matériaux pour lesquels la loi de Hooke est une approximation utile sont connus comme linéaire-élastique ou " ; Hookean" ; matériaux.

La loi de Hooke est baptisée du nom du britannique Robert Hooke de physicien du siècle du 17^th. Il a énoncé la première fois cette loi dans 1676 comme anagramme latin, dont la solution il a éditée dans 1678 en tant que tensio d'Ut de , la force de sic, qui signifie : Comme prolongation, ainsi la force. Pour les systèmes qui se conforment à la loi de Hooke, la prolongation produite est directement proportionnelle à la charge :

$\ vec {\ mathbf {F}} =-k \ vec {\} de mathbf {x} \$ là où le X de est la distance que le ressort a été étiré ou comprimé à partir de la position d'équilibre, qui est la position où le ressort viendrait naturellement pour se reposer dans des mètres, le F de
est la force de reconstitution exercée par le matériel en newton, et le k de
est la constante de force de (ou ressort constant de ). La constante a des unités de la force par unité de longueur (habituellement en newton par mètre ).

Quand ceci se tient, nous disons que le comportement est linéaire. Si montré sur un graphique, la ligne devrait montrer à un la variation directe . Il y a un négatif se connectent le côté droit de l'équation parce que la force de reconstitution agit toujours dans la direction opposée du déplacement du X (quand un ressort est étiré vers la gauche, elle tire de nouveau à la droite).

Matériaux élastiques

Les objets qui regagnent rapidement leur forme originale après avoir été déformé par un effort, avec les molécules ou les atomes de leur matériel retournant à l'état initial d'équilibre stable, se conforment souvent à la loi de Hooke.

Nous pouvons regarder une tige de n'importe quel matériel élastique du comme ressort linéaire . La tige a le L de longueur et le A de section. Sa prolongation (contrainte) est linéairement proportionnelle à sa contrainte de traction , le σ de par un facteur constant, l'inverse de son module d'élasticité , le E , par conséquent, $de \ sigma = E \ varepsilon$ ou $de \ = de delta L \ = du frac {F} {E A} L \ frac {\ sigma} {E} L.$

La loi de Hooke se tient seulement pour quelques matériaux dans certaines conditions de charge. L'acier montre le comportement linéaire-élastique dans la plupart des applications de technologie ; La loi de Hooke est valide pour elle dans toute sa gamme élastique (c., pour des efforts au-dessous de la limite conventionnelle d'élasticité ). Pour quelques autres matériaux, tels que l'aluminium , la loi de Hooke est seulement valide pour une partie de la gamme élastique. Pour ces matériaux un effort de la limite proportionnelle dont est défini, au-dessous les erreurs liées à l'approximation linéaire sont négligeables.

Le caoutchouc est généralement considéré comme un " ; non-hookean" ; matériel parce que son élasticité est effort dépendant et sensible à la température et au taux de chargement.

Les applications de la loi incluent les machines de pesage à ressorts, l'analyse des contraintes et la modélisation des matériaux.

L'équation de ressort

La forme le plus généralement produite de la loi de Hooke est probablement l'équation de ressort de , qui rapporte la force exercée par un ressort à la distance qu'elle est étirée par un ressort constant de , le k , mesuré en vigueur par longueur. $F=-kx de \,$ Le signe négatif indique que la force exercée par le ressort est dans l'opposition directe à la direction du déplacement. Ce s'appelle un " ; reconstitution du force" ; , en tant que lui tend à reconstituer le système à l'équilibre.

L'énergie potentielle stockée en ressort est donnée par le $U= de {1 \ over2} kx^2$ ce qui vient de s'ajouter vers le haut de l'énergie il prend pour comprimer incrémentalement le ressort. C'est-à-dire, l'intégrale de la force au-dessus de la distance. (Note que l'énergie potentielle d'un ressort est toujours positive.)

Ce potentiel peut être visualisé comme parabole sur le U - avion du X . Pendant que le ressort est étiré dans la x-direction positive, l'énergie potentielle augmente (la même chose se produit pendant que le ressort est comprimé). Le point correspondant sur la courbe d'énergie potentielle est plus haut que cela qui correspond à la position d'équilibre ( X = 0). La tendance pour le ressort est donc de diminuer son énergie potentielle par le renvoi à sa position d'équilibre (unstretched), juste comme une boule roule en descendant pour diminuer son énergie potentielle de la gravité.

Si un de masse m est attaché à l'extrémité d'un tel ressort, le système devient un oscillateur harmonique. Il oscillera avec une fréquence normale de de donnée en tant que l'un ou l'autre : $de \ radians = d'Omega \ racine carrée {k \ au-dessus de m}$ par seconde (pulsation)

$\ NU = {1 \ plus d'hertz} de 2 \ pi \ racine carrée {k \ au-dessus de m}$ (cycles par seconde)

là où le $\ nu$ est fréquence (le symbole est le caractère grec NU et pas la lettre v) depuis le $\, \ Omega = {2 \ pi \ NU}$ .

Ressorts multiples

Quand deux ressorts sont attachés à une masse et comprimés, la table suivante compare des valeurs des ressorts.

Dérivation

style=" de

espace libre : tous les deux ; largeur : 65% ; " ; class=" ; NavFrame" ; > class=" de

Equivalent (série)

constant class=" de

La dérivation du $k_ {eq}$ dans le cas de série est peu une plus rusée que dans le cas parallèle. Définissant la position d'équilibre du bloc pour être le x₂ , nous rechercherons l'équation la force sur le bloc au lequel ressemble : $F_b de de = - k_ {eq} x_2. \,$

Pour commencer, nous définirons également la position d'équilibre du point entre les deux ressorts pour être le x₁ .

La force sur le bloc est $F_b de de = - k_2 \ est parti (x_2 - x_1 \ droit). \ quadruple \ quadruple \ quadruple (1) \,$ En attendant, la force sur le point entre les deux ressorts est des $F_s de de = - k_1 x_1 + k_2 (x_2 - x_1). \,$

Maintenant, quand le bloc est poussé ainsi les ressorts sont comprimés et le système est permis de venir à l'équilibre, la force entre les ressorts doit additionner à zéro, ainsi avec les $F_s =0$ nous pouvons résoudre pour $x_1 \,$ : $\ est parti (k_1 + k_2 \ droit) x_1 = k_2 x_2 \,$ ainsi = de de
$x_1 \ frac {k_2} {k_1 + k_2} x_2. \,$

Maintenant nous branchons juste ceci de nouveau dans (1) :

Expression de tenseur de la loi de Hooke

En travaillant avec un état d'effort tridimensionnel, un tenseur ( c_ijkl ) de de l'ordre 4^th contenant 81 coefficients élastiques doit être défini pour lier le tenseur d'effort ( ij de σ_{) et le tenseur de contrainte (ou tenseur vert ) ( kilolitre} de de ε_).

$\ sigma_ {ij} = \ sum_ {kilolitre} c_ {} d'ijkl \ cdot \ varepsilon_ {kilolitre}.$

En raison de la symétrie du tenseur d'effort, du tenseur de contrainte, et du tenseur de la rigidité , seulement 21 coefficients élastiques sont indépendants.

Car l'effort est mesuré dans les unités de la pression et la contrainte est sans dimensions, les entrées du c_ijkl sont également dans les unités de la pression.

La généralisation pour le cas des grandes déformations est fournie par des modèles des Néo--Hookean solides et des solides de Mooney-Rivlin de

Matériaux isotropes < ! --- NOTE : il y a un lien de " ; Elasticity" linéaire ; à cette section --->

(voir la viscosité pour un développement analogue pour les fluides visqueux.)

Des matériaux isotropes sont caractérisés par les propriétés qui sont indépendant de la direction dans l'espace. Les équations physiques impliquant les matériaux isotropes doivent donc être indépendant du système du même rang choisi pour les représenter. Le tenseur de contrainte est un tenseur symétrique. Puisque la trace de n'importe quel tenseur est indépendant de système du même rang, la décomposition coordonner-libre la plus complète d'un tenseur symétrique est de la représenter comme somme d'un tenseur constant et d'un tenseur symétrique traceless. Ainsi : = de $\ varepsilon_ de {ij} \ laissé (\ frac {1} {3} \ varepsilon_ {} de kk \ delta_ {ij} \ droit) + \ (\ varepsilon_ {ij} - \ frac {1} {3} \ varepsilon_ {} de kk \ delta_ {ij} \ droit)$ laissé

là où le $\ delta_ {ij}$ est le delta de Kronecker de . La première limite du côté droit est le tenseur constant, également connu sous le nom de pression , et la deuxième limite est le tenseur symétrique traceless, également connu sous le nom de tenseur de cisaillement de .

La forme la plus générale de la loi de Hooke pour les matériaux isotropes peut maintenant être écrite comme combinaison linéaire de ces deux tenseurs : $de \ sigma_ {ij} =3K \ (\ frac {1} {3} \ varepsilon_ {} de kk \ delta_ {ij} \ droit) laissé +2G \ parti (\ varepsilon_ {ij} - \ frac {1} {3} \ varepsilon_ {} de kk \ delta_ {ij} \) droit \,$

là où le K est le module de compressibilité et le G est le module de cisaillement de .

Using les rapports entre les modules élastiques , ces équations peuvent également être exprimées de diverses autres manières. Par exemple, la contrainte peut être exprimée en termes de tenseur d'effort comme :

$\ varepsilon_ {11} = \ frac {1} {E} \ 11} - laissé (\ sigma_ {\ NU (\ + de sigma_ {22} \ sigma_ {33}) \ droit)$
$23} {\ frac {\ sigma_ {23}} {2G}$

là où le E est le module d'élasticité et le $\ nu$ est le coefficient de Poisson. (Voir l'élasticité à trois dimensions ).

style=" de

class=" de

Derivation de la loi de Hooke dans 3D

class=" de

La forme à trois dimensions de la loi de Hooke peut être dérivée using le coefficient de Poisson Et la forme 1-D de la loi de Hooke comme suit. Considérer la contrainte et souligner la relation comme superposition de deux effets : s'étirant dans la direction de la charge (1) et se rétrécissant (provoqué par la charge) dans des directions perpendiculaires (2 et 3),

$\ varepsilon_1 = \ frac {1} {E} \ sigma_1$ ,
$\ varepsilon_2 = - \ NU \ varepsilon_1$ , $de \ varepsilon_3 = - \ NU \ varepsilon_1$ ,

là où le $\ nu$ est le coefficient de Poisson De et $E$ le jeune module . Nous obtenons les équations semblables aux charges dans les directions 2 et 3,

$\ varepsilon_1 = - \ NU \ varepsilon_2$ ,
$\ varepsilon_2 = \ frac {1} {} d'E \ sigma_2$ , $\ varepsilon_3 de = - \ NU \ varepsilon_2$ ,

$\ varepsilon_1 = - \ NU \ varepsilon_3$ , $de \ varepsilon_2 = - \ NU \ varepsilon_3$ ,
$\ varepsilon_3 = \ frac {1} {} d'E \ sigma_3$ .

Additionnant les trois cas ensemble (= de $\ varepsilon_i \ varepsilon_i + \ + de varepsilon_i \ varepsilon_i$ ) nous obtenons $\ varepsilon_3 = \ (du frac {1} {E} \ sigma_3- \ NU (\ sigma_1+ \ sigma_2))$

ou en ajoutant et en soustrayant un $\ NU \ sigma$

$\ varepsilon_1 = \ frac {1} {E} () (de 1+ \ du NU \ sigma_1- \ NU (\ sigma_1+ \ sigma_2+ \ sigma_3))$
$\ varepsilon_2 = \ frac {1} {E} () (de 1+ \ du NU \ sigma_2- \ NU (\ sigma_1+ \ sigma_2+ \ sigma_3))$
$\ varepsilon_3 = \ frac {1} {E} () (de 1+ \ du NU \ sigma_3- \ NU (\ sigma_1+ \ sigma_2+ \ sigma_3))$

et nous promouvoir obtiennent près résolvants le $\ sigma_1$

$\ sigma_1 = \ frac {E} {} de 1+ \ du NU \ varepsilon_1 + \ (de frac {\ NU} {1+ \ NU} \ sigma_1+ \ sigma_2+ \ sigma_3)$ .

Calcul de la somme

$\ sigma_1 + \ sigma_2+ \ sigma_3 = \ (du frac {E} {1-2 \ NU} \ varepsilon_1 + \ varepsilon_2 + \ varepsilon_3)$

et la substitution de lui à l'équation résolue au $\ sigma_1$ donne

$\ sigma_1 = \ frac {E} {} de 1+ \ du NU \ varepsilon_1 + \ frac {E \ NU} {(1+ \ NU) (1-2 \ NU)}(\ varepsilon_1 + \ varepsilon_2 + \ varepsilon_3)$ , $de \ sigma_1 = 2 \ MU \ varepsilon_1 + \ lambda (\ varepsilon_1 + \ varepsilon_2 + \ varepsilon_3)$ , là où le $\ mu$ et le $\ lambda$ sont les paramètres de Lamé de . Le traitement semblable des directions 2 et 3 donne la loi du Hooke dans trois dimensions.

ressorts de Zéro-longueur

" ; spring" de Zéro-longueur ; est la limite standard pendant un ressort qui exerce la force nulle quand il a la longueur nulle. Dans la pratique ceci est fait en combinant un ressort avec le " ; negative" ; longueur (dans quel la presse d'enroulements ensemble quand le ressort est relaxed) avec une longueur supplémentaire de matériel non élastique. Ce type de ressort a été développé en 1932 par le Lucien LaCoste pour l'usage dans un sismographe vertical . Un ressort avec la longueur nulle peut être attaché à une masse sur une perche articulée de telle manière que la force sur la masse soit presque exactement équilibrée par le composant vertical de la force du ressort, quoi que la position de la perche. Ceci crée un pendule avec la période très longue. Les pendules Long-period permettent aux sismomètres de sentir les vagues les plus lentes des tremblements de terre. La suspension de LaCoste avec des ressorts de zéro-longueur est également employée dans des gravimètres parce qu'elle est très sensible aux changements de la pesanteur. Des ressorts pour les portes fermantes sont souvent faits pour avoir la longueur nulle rudement de sorte que ils exerceront la force même lorsque la porte est presque fermée, ainsi elle se fermera fermement.

Voir également

Limite d'élasticité
Énergie potentielle élastique
Lois scientifiques de baptisées du nom des personnes
Mécanique des solides

Random links: