La géométrie inversive d\'anneau

Dans les mathématiques , la géométrie inversive d'anneau de est la prolongation au contexte des anneaux associatifs du des concepts de la ligne projective , des coordonnées homogènes , des transformations projectives et du Croix-rapport , concepts de habituellement établis sur les anneaux qui s'avèrent justement être les champs .

On commence par des paires commandées ( un , b ) dans des × du A ; A où le A est un anneau (associatif) avec 1. Laisser le U être le groupe de d'unités de l'anneau. Quand il y a le g dans le U tels que

( AG , BG ) = ( u , v ),

alors nous écrivons ~ de

( u , v ) ( un , b ).

En d'autres termes, nous identifions les orbites sous l'action du U , et le ~ est la relation d'équivalence correspondante .

Deux éléments d'un anneau sont le relativement principal si le idéal dans le A du lequel ils produisent est la totalité de A . La ligne projective de au-dessus d'A est l'ensemble de classes d'équivalence pour le ~ sur des paires d'éléments relativement principaux : P ( A ) de

= {× de A de ∈ de U ( un , b ) ; A /~ : A + A b = A }.

Exemples avec des descriptions topologiques (le ≈ dénote l'homéomorphie ) :
A de

= avion complexe du du C : S de ≈ du P ( C ) ² = sphère de Riemann
A = anneau de Quaternion du H : S de ≈ du P ( H ) ⁴ = compactification d'Un-point de
A = avion du nombre duel du D : P ( D ) = ∪ du D { U (1, X n ) : R de ∈ du X }, nn de = 0
A = avion dédoubler-complexe du du M : Hyperboloid de ≈ du P ( M ) d'une feuille. Cette description est apparue dans le Russe en 1969 ( Yaglom ), en allemand en 1973 (benz), et l'anglais en 1979 (Shenitzer traduit Yaglom).

Affiner et groups< projectif ! -- Cette section est liée du groupe de Lorentz de -->

Le affinent le groupe que sur le A est produit par le X de → du X de tracés + X u de → du c et du X , le u U de ∈.

Le groupe de de projectivities sur le P ( A ) prolonge le groupe d'affinage en incluant le ^{&minus du X de → du X de réciproque ; 1} comme suit :

Représenter les traductions par le U (le X , 1) $\ commencent {pmatrix} 1 et 0 \ \ c et 1 \ extrémité {pmatrix}$ = U ( X + c , 1).

Représenter le " ; rotations" ; par le U (le X , 1) $\ commencent {pmatrix} u et 0 \ \ 0 et 1 \ extrémité {pmatrix}$ = U ( X u , 1).

Inclure la réciproque avec le $du U ( X , y ) \ commencer {pmatrix} 0 et 1 \ \ 1 et 0 \ extrémité {pmatrix}$ = U ( y , ; X ).

Noter cela si le U , puis le U (1, u ) de ∈ du u = le U (^{&minus de u ; 1}, 1) = U (le u , 1) $\ commencent {pmatrix} 0 et 1 \ \ 1 et 0 \ extrémité {pmatrix}$ .

La composition des tracés est représentée par multiplication de matrice d'où les matrices sont le 2 ; × ; ; type 2 exhibé avec des entrées prises du A d'anneau. Appeler l'ensemble de elles le M ( A , ; 2) ainsi le groupe de de de ⊂ du G ( A ) des projectivities M ( A , 2). Par exemple, dans le G ( A ) un trouve le projectivity le $de \ commencent {pmatrix} u et 0 \ \ 0 et 1 \ extrémité {pmatrix} \ commencent {pmatrix} 0 et 1 \ \ 1 et 0 \ extrémité {pmatrix} \ commencent {pmatrix} u et 0 \ \ 0 et 1 \ extrémité {pmatrix} \ commencent {pmatrix} 0 et 1 \ \ 1 et 0 \ extrémité {pmatrix} = \ commencent {pmatrix} u et 0 \ \ 0 et u \ extrémité {pmatrix}.$

Son action est le U (le X , 1) $\ commencent {pmatrix} u et 0 \ \ 0 et u \ extrémité {pmatrix}$ = U (xu de , u ) = le U (^{&minus de u ; xu du 1} , 1).

Ainsi le ^{&minus intérieur du u de → du X de l'automorphisme ; 1} le X u du groupe de A de ⊂ du U d'unités surgit comme projectivity sur le P ( A ) par un élément du G ( A ). Par exemple, quand le A est l'anneau du Quaternions puis on obtient des rotations de 3 de l'espace . Au cas où le A serait l'anneau du Biquaternions les tracés incluent les rotations ordinaires et hyperboliques du groupe de Lorentz de .

théorèmes de Croix-rapport

Ici nous considérons l'existence, l'unicité, les triples assortis, et l'invariance . Supposer le p , le q , le de ∈ du r A avec le t de = (&ndash de r ; ^{&minus du p ) ; 1} et v = ( t + (&ndash de q ; ^{&minus du r ) ; ) ^{&minus 1} ; 1}. Quand le t de ces inverses et le v existent nous disons le " ; le p , le q , et le r sont sufficiently" séparé ;. Regarder maintenant

$\ commencer {pmatrix} 1 et 0 \ \ - r et 1 \ extrémité {pmatrix} \ commencent {pmatrix} 0 et 1 \ \ 1 et 0 \ extrémité {pmatrix} \ commencent {pmatrix} 1 et 0 \ \ t et 1 \ extrémité {pmatrix} \ commencent {pmatrix} v et 0 \ \ 0 et 1 \ extrémité {pmatrix}.$

Les deux premiers facteurs ont mis le r au U (1, 0) = ∞ où il reste. Le troisième facteur déplace le t , l'image du p sous les deux premiers facteurs, au U (0, 1), ou mettent dedans l'encastrement canonique. En conclusion, le quatrième facteur a tracé le q par les trois premiers facteurs et formations de la rotation avec le v place U ( q , 1) à U (1, 1). Ainsi la composition montrée place le triple p , le q , le r au triple 0. Évidemment il est unique un tel projectivity considérant l'utilisation pivotale des points fixes des générateurs d'apporter le triple à 0.

Si le s et le t sont deux triples suffisamment séparés puis ils correspondent au g de projectivities et h respectivement qui trace chacun de s et de t (0. Ainsi le ^{&minus du h de projectivity ; le g de 1} o trace le s au t .

Dénoter par ( X , p , q , r ) l'image du X sous le projectivity déterminée par le p , le q , le r comme ci-dessus. Cette fonction f (x) est le croix-rapport déterminé par p, q, &isin de r ; A. L'unicité de cette fonction implique cela quand un &isin simple du projectivity g ; G (A) est employé pour former un autre g triple (p), g (q), g (r) du premier, puis de la nouvelle fonction h de croix-rapport est la composition du premier avec g, qui est h = g o f, autrement écrit

( g ( X ), g ( p ), g ( q ), g ( r )) = ( X , p , q , r ).

Notes historiques

Le août Ferdinand Möbius a étudié les transformations de Möbius de entre son calcul (1827) de Baricentric de de livre et son " 1855 de papier ; Der Kreisverwandtschaft de Theorie dans le geometrischer Darstellung" de rêne ;. Le Karl Wilhelm Feuerbach et le plumeur de Jules de sont également crédités de lancer l'utilisation des coordonnées homogènes. L'étude d'Eduard de en 1898, et le Elie Cartan en 1908, ont écrit des articles sur les nombres de Hypercomplex de pour les encyclopédies allemandes et françaises de des mathématiques , respectivement. Ces articles ont également suggéré le G ( A ) de → du A de Functor développé ci-dessus, mais dans leur ère on a manqué des concepts de la catégorie des anneaux et les avantages de la rigueur dans des relations d'équivalence n'ont pas été encore appréciés, ainsi les tentatives de l'étude et du Cartan étaient prématurées. L'anneau du D des nombres duels a donné l'occasion de Joseph Grunbaum d'exhiber le P ( D ) en 1906. (Ihre Anwendung d'und de Zahlen de duale d'Über dans der Geometrie" ; , Monatsch.) Dans 1947 la construction a été effectuée sur le H par P. Gormley, " ; Projection stéréographique et le groupe partiel linéaire de transformations de quaternions" ; (Démarches du irlandais royal 51 , 67-85 d'académie, de section A). Dans 1968 nombres complexes de d'I. Yaglom dans la géométrie est apparu en anglais, traduit du Russe, où il emploie le P ( D ) pour décrire la ligne la géométrie dans l'avion et le euclidiens P ( M ) pour le décrire pour l'avion de Lobachevski. Le des textes de Yaglom une géométrie Non-Euclidienne simple est apparu en anglais en 1979. Là en pages 174 200 il développe la géométrie de Minkowskian de et décrit le P ( M ) comme " ; plane" inversif de Minkowski ;. L'original russe du texte de Yaglom a été édité en 1969. Entre les deux éditions, Walter Benz (1973) a édité le der Algebren de Geometrie d'über de Vorlesungen de qui a inclus les coordonnées homogènes prises du M .

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